[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/patrulatere > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/patrulatere** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/patrulatere** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Patrulatere — clasa a 7-a Clasa a 7-a · 19 exerciții cu patrulatere în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională. ## Patrulatere #1 — Începător · 5 puncte Într-un triunghi $ABC$, punctul $G$ este centrul de greutate, iar mediana dusă din vârful $A$ are lungimea $AM = 12\ \text{cm}$ ($M$ fiind mijlocul laturii $BC$). Care este lungimea segmentului $AG$? A. $8\ \text{cm}$ B. $4\ \text{cm}$ C. $6\ \text{cm}$ D. $24\ \text{cm}$ **Indiciu:** Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, segmentul mai lung fiind cel dinspre vârf: $AG = \dfrac{2}{3} \cdot AM$. **Răspuns corect:** A. $8\ \text{cm}$ **Rezolvare** Centrul de greutate $G$ împarte mediana $AM$ în raportul $2:1$ de la vârf, deci $AG$ reprezintă $\dfrac{2}{3}$ din lungimea medianei: $$AG = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\ \text{cm}.$$ --- ## Patrulatere #2 — Începător · 5 puncte Un trapez are bazele de $8\ \text{cm}$ și $14\ \text{cm}$. Ce lungime are linia mijlocie a trapezului? A. $11\ \text{cm}$ B. $22\ \text{cm}$ C. $7\ \text{cm}$ D. $4\ \text{cm}$ E. $3\ \text{cm}$ **Indiciu:** Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor: $\ell = \dfrac{B+b}{2}$. **Răspuns corect:** A. $11\ \text{cm}$ **Rezolvare** Cu $B = 14\ \text{cm}$ și $b = 8\ \text{cm}$: $$\ell = \frac{B+b}{2} = \frac{14+8}{2} = \frac{22}{2} = 11\ \text{cm}.$$ --- ## Patrulatere #3 — Mediu · 5 puncte Trapezul $ABCD$ are baza mare $BC = 18\ \text{cm}$, iar linia mijlocie are lungimea $13\ \text{cm}$. Care este lungimea bazei mici $AD$? A. $8\ \text{cm}$ B. $5\ \text{cm}$ C. $44\ \text{cm}$ D. $26\ \text{cm}$ E. $10\ \text{cm}$ **Indiciu:** Linia mijlocie a trapezului este egală cu semisuma bazelor: $\\ell = \\dfrac{B+b}{2}$. **Răspuns corect:** A. $8\ \text{cm}$ **Rezolvare** Linia mijlocie a trapezului este semisuma bazelor, deci $13 = \dfrac{18+AD}{2}$. $$26 = 18 + AD$$ $$AD = 26 - 18 = 8\ \text{cm}$$ --- ## Patrulatere #4 — Mediu · 5 puncte În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate, iar mediana $AM$ (dusă din vârful $A$ către mijlocul laturii $BC$) are lungimea $12\ \text{cm}$. Care este lungimea segmentului $AG$? A. $8\ \text{cm}$ B. $4\ \text{cm}$ C. $6\ \text{cm}$ D. $9\ \text{cm}$ **Indiciu:** Centrul de greutate al triunghiului împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, măsurat de la vârf către mijlocul laturii opuse. **Răspuns corect:** A. $8\ \text{cm}$ **Rezolvare** Punctul $G$ împarte mediana $AM$ astfel încât $AG:GM = 2:1$, măsurat de la vârful $A$. Așadar $AG$ reprezintă $\dfrac{2}{3}$ din lungimea medianei: $$AG = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\ \text{cm}.$$ --- ## Patrulatere #5 — Mediu · 5 puncte În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $[AB]$, $N$ este mijlocul lui $[AC]$, iar $BC=14$ cm. Atunci $MN$ este: A. $28$ cm B. $3{,}5$ cm C. $14$ cm D. $7$ cm **Indiciu:** Linia mijlocie este paralelă cu latura opusă și are jumătate din lungimea ei. **Răspuns corect:** D. $7$ cm **Rezolvare** $$MN=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7\ \text{cm}.$$ ✓ (În plus, $MN\parallel BC$ — de aici și numele de „linie mijlocie".) --- ## Patrulatere #6 — Mediu · 5 puncte Un trapez are bazele de $12$ cm și $8$ cm. Linia lui mijlocie are lungimea: A. $4$ cm B. $20$ cm C. $2$ cm D. $10$ cm **Indiciu:** Linia mijlocie a trapezului este media aritmetică a bazelor. **Răspuns corect:** D. $10$ cm **Rezolvare** $$\ell_m=\frac{B+b}{2}=\frac{12+8}{2}=10\ \text{cm}.$$ ✓ (Semidiferența $\dfrac{12-8}{2}=2$ cm este lungimea segmentului determinat de diagonale pe linia mijlocie — nu linia mijlocie însăși.) --- ## Patrulatere #7 — Avansat · 5 puncte În patrulaterul convex $ABCD$, diagonalele au lungimile $AC = 10\ \text{cm}$ și $BD = 16\ \text{cm}$. Punctele $M$, $N$, $P$, $Q$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$. Perimetrul patrulaterului $MNPQ$ este: A. $26\ \text{cm}$ B. $52\ \text{cm}$ C. $20\ \text{cm}$ D. $32\ \text{cm}$ E. $13\ \text{cm}$ **Indiciu:** Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este linie mijlocie: este paralel cu a treia latură a triunghiului și are lungimea egală cu jumătate din ea. **Răspuns corect:** A. $26\ \text{cm}$ **Rezolvare** În triunghiul $ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $BC$, deci $MN$ este linie mijlocie: $MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\ \text{cm}$. În triunghiul $BCD$, $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $BC$ și $CD$, deci $NP$ este linie mijlocie: $NP = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\ \text{cm}$. Analog, $PQ = \dfrac{AC}{2} = 5\ \text{cm}$ și $QM = \dfrac{BD}{2} = 8\ \text{cm}$. $$P_{MNPQ} = 2 \cdot (5 + 8) = 26\ \text{cm}.$$ --- ## Patrulatere #8 — Avansat · 5 puncte Un trapez are linia mijlocie de $9$ cm și baza mică de $5$ cm. Baza mare are: A. $4$ cm B. $14$ cm C. $13$ cm D. $18$ cm **Indiciu:** Din $\ell_m=\dfrac{B+b}{2}$ scoate $B=2\ell_m-b$. **Răspuns corect:** C. $13$ cm **Rezolvare** $$9=\frac{B+5}{2}\ \Rightarrow\ B+5=18\ \Rightarrow\ B=13\ \text{cm}.$$ ✓ Verificare: $\dfrac{13+5}{2}=9$ ✓ (Capcana $18$ răspunde cu $2\ell_m$, uitând să scadă baza mică.) --- ## Patrulatere #9 — Avansat · 5 puncte Care afirmație este **adevărată**? A. Orice paralelogram este dreptunghi B. Orice romb este pătrat C. Orice pătrat este romb D. Orice trapez este paralelogram **Indiciu:** Verifică definițiile: pătratul are toate laturile congruente — ce înseamnă asta? **Răspuns corect:** C. Orice pătrat este romb **Rezolvare** Pătratul are toate cele patru laturi congruente, deci este un **romb** (romb cu unghiuri drepte). ✓ Celelalte sunt false: - un paralelogram poate avea unghiuri diferite de $90^\circ$; - un romb poate avea unghiuri diferite de $90^\circ$; - un trapez are doar **o** pereche de laturi paralele. --- ## Patrulatere #10 — Avansat · 5 puncte Un paralelogram ale cărui diagonale sunt **perpendiculare** este: A. romb B. dreptunghi C. trapez D. pătrat, în mod obligatoriu **Indiciu:** Care dintre paralelograme are diagonalele perpendiculare? **Răspuns corect:** A. romb **Rezolvare** Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este un **romb**. ✓ Criteriile de recunoaștere: - diagonale **congruente** $\to$ dreptunghi; - diagonale **perpendiculare** $\to$ romb; - ambele condiții $\to$ pătrat. Deci pătratul este un caz particular, nu concluzia obligatorie. --- ## Patrulatere #11 — Avansat · 5 puncte Un trapez dreptunghic are bazele de $10$ cm și $6$ cm, iar latura perpendiculară pe baze de $3$ cm. Aria lui este: A. $24$ cm² B. $30$ cm² C. $48$ cm² D. $18$ cm² **Indiciu:** Latura perpendiculară pe baze **este** înălțimea. **Răspuns corect:** A. $24$ cm² **Rezolvare** $$\mathcal A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(10+6)\cdot 3}{2}=\frac{48}{2}=24\ \text{cm}^2.$$ ✓ (Capcana $48$ cm² omite împărțirea la $2$.) --- ## Patrulatere #12 — Avansat · 5 puncte Un romb are diagonalele de $6$ cm și $8$ cm. Latura lui are lungimea: A. $7$ cm B. $10$ cm C. $5$ cm D. $24$ cm **Indiciu:** Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, formând patru triunghiuri dreptunghice cu catetele egale cu semidiagonalele. **Răspuns corect:** C. $5$ cm **Rezolvare** Semidiagonalele sunt $3$ cm și $4$ cm, iar ele sunt catetele unui triunghi dreptunghic a cărui ipotenuză este latura rombului: $$\ell=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}.$$ ✓ ($24$ cm² ar fi aria rombului, $\dfrac{6\cdot 8}{2}$ — nu latura.) ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.