[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/puteri-si-radicali

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/puteri-si-radicali**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/puteri-si-radicali** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Puteri și radicali — clasa a 7-a

Clasa a 7-a · 10 exerciții cu puteri și radicali în bibliotecă, 10 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională.

## Puteri și radicali #1 — Începător · 5 puncte

Calculați $\sqrt3\cdot\sqrt{12}$.

A. $6$
B. $36$
C. $15$
D. $4$

**Indiciu:** Folosiți proprietatea $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{a\cdot b}$.

**Răspuns corect:** A. $6$

**Rezolvare**

$\sqrt3\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$.

---

## Puteri și radicali #2 — Mediu · 5 puncte

Calculați $\sqrt{45}+\sqrt{20}-\sqrt5$.

A. $5\sqrt5$
B. $3\sqrt5$
C. $6\sqrt5$
D. $4\sqrt5$

**Indiciu:** Scoateți factorul comun de sub fiecare radical, ca să obțineți radicali asemenea cu $\sqrt5$.

**Răspuns corect:** D. $4\sqrt5$

**Rezolvare**

$\sqrt{45}=3\sqrt5$, $\sqrt{20}=2\sqrt5$. Atunci $\sqrt{45}+\sqrt{20}-\sqrt5=3\sqrt5+2\sqrt5-\sqrt5=4\sqrt5$.

---

## Puteri și radicali #3 — Mediu · 5 puncte

Raționalizați numitorul fracției $\dfrac{1}{\sqrt3}$.

A. $\dfrac13$
B. $3\sqrt3$
C. $\dfrac{\sqrt3}{3}$
D. $\sqrt3$

**Indiciu:** Amplificați fracția cu $\sqrt3$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\sqrt3}{3}$

**Rezolvare**

$\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{1\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

---

## Puteri și radicali #4 — Mediu · 5 puncte

Rezultatul calculului $\sqrt{18}+\sqrt{8}$ este:

A. $5\sqrt2$
B. $\sqrt{26}$
C. $6\sqrt2$
D. $5\sqrt{26}$

**Indiciu:** Scoate factorii de sub fiecare radical; abia apoi poți aduna termenii **asemenea**.

**Răspuns corect:** A. $5\sqrt2$

**Rezolvare**

$$\sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{8}=2\sqrt2,$$
deci
$$\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2.$$ ✓

(Capcana $\sqrt{26}$ vine din $\sqrt{18+8}$ — dar $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$: numeric $5\sqrt2\approx 7{,}07$, iar $\sqrt{26}\approx 5{,}10$.)

---

## Puteri și radicali #5 — Mediu · 5 puncte

Rezultatul calculului $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)$ este:

A. $\sqrt5$
B. $9$
C. $-1$
D. $1$

**Indiciu:** Recunoaște formula diferenței de pătrate.

**Răspuns corect:** D. $1$

**Rezolvare**

$$(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1.$$ ✓

Acesta este chiar mecanismul raționalizării: produsul unei expresii cu conjugata ei elimină radicalul.

---

## Puteri și radicali #6 — Avansat · 5 puncte

Raționalizați numitorul fracției $\dfrac{2}{\sqrt5-1}$.

A. $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$
B. $\sqrt5+1$
C. $\dfrac{\sqrt5+1}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt5+1}{4}$

**Indiciu:** Amplificați fracția cu conjugatul numitorului, $\sqrt5+1$, și folosiți $(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)=5-1$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\sqrt5+1}{2}$

**Rezolvare**

$\dfrac{2}{\sqrt5-1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$.

---

## Puteri și radicali #7 — Avansat · 5 puncte

Rezultatul calculului $\left(\sqrt3+1\right)^2$ este:

A. $4$
B. $4-2\sqrt3$
C. $4+2\sqrt3$
D. $2\sqrt3$

**Indiciu:** Folosește $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$; radicalul nu dispare din termenul din mijloc.

**Răspuns corect:** C. $4+2\sqrt3$

**Rezolvare**

$$\left(\sqrt3+1\right)^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3\approx 7{,}46.$$ ✓

(Capcana $4$ „distribuie" pătratul peste sumă — greșit; ea ar fi corectă doar dacă termenul din mijloc ar lipsi.)

---

## Puteri și radicali #8 — Avansat · 5 puncte

Forma raționalizată a numărului $\dfrac{4}{\sqrt5+1}$ este:

A. $\sqrt5+1$
B. $\dfrac{\sqrt5-1}{4}$
C. $4\left(\sqrt5-1\right)$
D. $\sqrt5-1$

**Indiciu:** Amplifică cu $\sqrt5-1$; numitorul devine $5-1=4$.

**Răspuns corect:** D. $\sqrt5-1$

**Rezolvare**

$$\frac{4}{\sqrt5+1}=\frac{4\left(\sqrt5-1\right)}{5-1}=\frac{4\left(\sqrt5-1\right)}{4}=\sqrt5-1.$$ ✓

Verificare numerică: $\dfrac{4}{3{,}236}\approx 1{,}236$ și $2{,}236-1=1{,}236$ ✓

---

## Puteri și radicali #9 — Avansat · 5 puncte

Forma raționalizată a numărului $\dfrac{6}{\sqrt3}$ este:

A. $6\sqrt3$
B. $3\sqrt2$
C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$
D. $2\sqrt3$

**Indiciu:** Amplifică fracția cu $\sqrt3$, apoi simplifică.

**Răspuns corect:** D. $2\sqrt3$

**Rezolvare**

$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3.$$ ✓

Verificare numerică: $\dfrac{6}{1{,}732}\approx 3{,}46$ și $2\sqrt3\approx 3{,}46$ ✓

---

## Puteri și radicali #10 — Avansat · 5 puncte

Forma raționalizată a numărului $\dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3}$ este:

A. $\sqrt5-\sqrt3$
B. $2(\sqrt5+\sqrt3)$
C. $\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{2}$
D. $\sqrt5+\sqrt3$

**Indiciu:** Amplifică cu conjugata numitorului, $\sqrt5+\sqrt3$, și folosește $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

**Răspuns corect:** D. $\sqrt5+\sqrt3$

**Rezolvare**

$$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{2}=\sqrt5+\sqrt3.$$ ✓

Verificare numerică: $\dfrac{2}{2{,}236-1{,}732}\approx\dfrac{2}{0{,}504}\approx 3{,}97$ și $\sqrt5+\sqrt3\approx 3{,}97$ ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.