[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/teorema-lui-pitagora > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/teorema-lui-pitagora** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-7/teorema-lui-pitagora** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Teorema lui Pitagora — clasa a 7-a Clasa a 7-a · 11 exerciții cu teorema lui pitagora în bibliotecă, 11 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională. ## Teorema lui Pitagora #1 — Începător · 5 puncte Triunghiul dreptunghic $ABC$ are unghiul drept în $B$, cateta $AB = 8\ \text{cm}$ și cateta $BC = 15\ \text{cm}$. Care este lungimea ipotenuzei $AC$? A. $17\ \text{cm}$ B. $23\ \text{cm}$ C. $7\ \text{cm}$ D. $120\ \text{cm}$ **Indiciu:** Aplică teorema lui Pitagora: $AC^2=AB^2+BC^2$. **Răspuns corect:** A. $17\ \text{cm}$ **Rezolvare** $AC^2=8^2+15^2=64+225=289$, deci $AC=\sqrt{289}=17\ \text{cm}$. --- ## Teorema lui Pitagora #2 — Începător · 5 puncte Într-un triunghi dreptunghic $ABC$, cu unghiul drept în $A$, ipotenuza $BC$ are lungimea $25\ \text{cm}$, iar proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză are lungimea $9\ \text{cm}$. Lungimea catetei $AB$ este: A. $15\ \text{cm}$ B. $225\ \text{cm}$ C. $16\ \text{cm}$ D. $12\ \text{cm}$ **Indiciu:** Teorema catetei: $c^2 = i \cdot p$, unde $c$ este o catetă, $i$ este ipotenuza, iar $p$ este proiecția acelei catete pe ipotenuză. **Răspuns corect:** A. $15\ \text{cm}$ **Rezolvare** $$AB^2 = BC \cdot p_{AB} = 25 \cdot 9 = 225.$$ Extragem radicalul: $$AB = \sqrt{225} = 15\ \text{cm}.$$ --- ## Teorema lui Pitagora #3 — Începător · 5 puncte Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză au lungimile $4\ \text{cm}$ și $9\ \text{cm}$. Care este lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept pe ipotenuză? A. $6\ \text{cm}$ B. $36\ \text{cm}$ C. $13\ \text{cm}$ D. $6{,}5\ \text{cm}$ **Indiciu:** Teorema înălțimii: $h^2 = p_1 \cdot p_2$, unde $p_1$ și $p_2$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză. **Răspuns corect:** A. $6\ \text{cm}$ **Rezolvare** $$h^2 = 4 \cdot 9 = 36.$$ Extragem radicalul: $$h = \sqrt{36} = 6\ \text{cm}.$$ --- ## Teorema lui Pitagora #4 — Mediu · 5 puncte Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în $A$, catetele $AB$ și $AC$ au lungimile $15\ \text{cm}$, respectiv $20\ \text{cm}$. Care este lungimea proiecției catetei $AC$ pe ipotenuza $BC$? A. $16\ \text{cm}$ B. $9\ \text{cm}$ C. $20\ \text{cm}$ D. $12{,}5\ \text{cm}$ **Indiciu:** Teorema catetei: $AC^2 = BC \cdot p_{AC}$, unde $p_{AC}$ este proiecția catetei $AC$ pe ipotenuza $BC$. **Răspuns corect:** A. $16\ \text{cm}$ **Rezolvare** Aflăm mai întâi ipotenuza cu teorema lui Pitagora: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow BC = 25\ \text{cm}.$$ Aplicăm teorema catetei pentru $AC$: $$AC^2 = BC \cdot p_{AC} \Rightarrow p_{AC} = \dfrac{20^2}{25} = \dfrac{400}{25} = 16\ \text{cm}.$$ --- ## Teorema lui Pitagora #5 — Mediu · 5 puncte Un dreptunghi are laturile de $9$ cm și $12$ cm. Diagonala lui are lungimea: A. $15$ cm B. $21$ cm C. $225$ cm D. $\sqrt{21}$ cm **Indiciu:** Diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele egale cu laturile dreptunghiului. **Răspuns corect:** A. $15$ cm **Rezolvare** $$d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}.$$ ✓ ($225$ este $d^2$, iar $21$ ar fi suma laturilor — nici una nu este diagonala.) --- ## Teorema lui Pitagora #6 — Mediu · 5 puncte Înălțimea unui triunghi echilateral cu latura de $6$ cm este: A. $3$ cm B. $6\sqrt3$ cm C. $3\sqrt3$ cm D. $3\sqrt2$ cm **Indiciu:** Înălțimea cade în mijlocul bazei, formând un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $6$ și o catetă $3$. **Răspuns corect:** C. $3\sqrt3$ cm **Rezolvare** Piciorul înălțimii este mijlocul bazei, deci $$h=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt3\ \text{cm}\approx 5{,}20\ \text{cm}.$$ ✓ (Formula generală: $h=\dfrac{\ell\sqrt3}{2}=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3$.) --- ## Teorema lui Pitagora #7 — Mediu · 5 puncte În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $C$), înălțimea din $C$ împarte ipotenuza în segmentele de $4$ cm și $9$ cm. Lungimea înălțimii este: A. $\dfrac{13}{2}$ cm B. $6$ cm C. $36$ cm D. $13$ cm **Indiciu:** Teorema înălțimii: pătratul înălțimii este produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză. **Răspuns corect:** B. $6$ cm **Rezolvare** $$h^2=AH\cdot HB=4\cdot 9=36\ \Rightarrow\ h=6\ \text{cm}.$$ ✓ Observație: $h$ este media **geometrică** a proiecțiilor, nu media aritmetică ($\dfrac{4+9}{2}=6{,}5$ — de aici capcana). --- ## Teorema lui Pitagora #8 — Avansat · 5 puncte Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în $A$, ipotenuza $BC$ are lungimea $25\ \text{cm}$, iar cateta $AB$ are lungimea $20\ \text{cm}$. Lungimea înălțimii din $A$ pe ipotenuză este: A. $12\ \text{cm}$ B. $9\ \text{cm}$ C. $15\ \text{cm}$ D. $16\ \text{cm}$ E. $20\ \text{cm}$ **Indiciu:** Teorema catetei: $c^2 = i \cdot p$ (proiecția catetei pe ipotenuză); teorema înălțimii: $h^2 = p_1 \cdot p_2$ (produsul celor două proiecții). **Răspuns corect:** A. $12\ \text{cm}$ **Rezolvare** Proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză, prin teorema catetei: $$AB^2 = BC \cdot p_{AB} \Rightarrow p_{AB} = \dfrac{20^2}{25} = \dfrac{400}{25} = 16\ \text{cm}.$$ Cealaltă proiecție: $p_{AC} = BC - p_{AB} = 25 - 16 = 9\ \text{cm}$. Prin teorema înălțimii: $$h^2 = p_{AB} \cdot p_{AC} = 16 \cdot 9 = 144 \Rightarrow h = 12\ \text{cm}.$$ --- ## Teorema lui Pitagora #9 — Avansat · 5 puncte O scară de $5$ m se sprijină de un perete vertical, cu baza la $3$ m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele? A. $8$ m B. $2$ m C. $4$ m D. $\sqrt{34}$ m **Indiciu:** Scara, peretele și solul formează un triunghi dreptunghic; scara este ipotenuza. **Răspuns corect:** C. $4$ m **Rezolvare** $$h^2=5^2-3^2=25-9=16\ \Rightarrow\ h=4\ \text{m}.$$ ✓ Verificare: $3^2+4^2=25=5^2$ ✓ (Capcana $\sqrt{34}$ adună pătratele — corect doar dacă s-ar căuta ipotenuza, dar aceasta este chiar scara.) --- ## Teorema lui Pitagora #10 — Avansat · 5 puncte Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are $25$ cm, iar proiecția unei catete pe ipotenuză are $9$ cm. Lungimea acelei catete este: A. $12$ cm B. $15$ cm C. $5$ cm D. $20$ cm **Indiciu:** Teorema catetei: pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția **acelei** catete. **Răspuns corect:** B. $15$ cm **Rezolvare** $$c^2=i\cdot p=25\cdot 9=225\ \Rightarrow\ c=15\ \text{cm}.$$ ✓ Verificare: cealaltă proiecție este $25-9=16$, deci cealaltă catetă are $\sqrt{25\cdot 16}=20$ cm, iar $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ ✓ --- ## Teorema lui Pitagora #11 — Expert · 5 puncte Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în segmentele de $9$ cm și $16$ cm. Cateta mai lungă are: A. $12$ cm B. $15$ cm C. $20$ cm D. $25$ cm **Indiciu:** Cateta mai lungă se opune proiecției mai mari; folosește $c^2=i\cdot p$. **Răspuns corect:** C. $20$ cm **Rezolvare** Ipotenuza este $9+16=25$ cm. Cateta corespunzătoare proiecției de $16$ cm: $$c^2=25\cdot 16=400\ \Rightarrow\ c=20\ \text{cm}.$$ ✓ Verificare: cealaltă catetă este $\sqrt{25\cdot 9}=15$, iar $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.