[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-8/ecuatii-de-gradul-2

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-8/ecuatii-de-gradul-2**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-8/ecuatii-de-gradul-2** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Ecuații de gradul II — clasa a 8-a

Clasa a 8-a · 14 exerciții cu ecuații de gradul ii în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională.

## Ecuații de gradul II #1 — Mediu · 5 puncte

Rezolvați ecuația $x^2 - 7x + 12 = 0$.

A. $\{2, 6\}$
B. $\{3, 4\}$
C. $\{-3, -4\}$
D. $\{1, 12\}$

**Indiciu:** Caută două numere a căror sumă este $7$ și al căror produs este $12$.

**Răspuns corect:** B. $\{3, 4\}$

**Rezolvare**

Numerele $3$ și $4$ au suma $7$ și produsul $12$, deci $x^2-7x+12 = (x-3)(x-4)$, iar soluțiile ecuației sunt $x \in \{3, 4\}$.

---

## Ecuații de gradul II #2 — Mediu · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2-7x+12=0$ este:

A. $\{3,4\}$
B. $\{-3,-4\}$
C. $\{-3,4\}$
D. $\{1,12\}$
E. $\{-4,3\}$

**Indiciu:** Pentru $ax^2+bx+c=0$, rădăcinile sunt $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

**Răspuns corect:** A. $\{3,4\}$

**Rezolvare**

Cu $a=1$, $b=-7$, $c=12$ avem $\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$.
$$x_{1,2}=\dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{7\pm 1}{2}.$$
Obținem $x_1=\dfrac{6}{2}=3$ și $x_2=\dfrac{8}{2}=4$, deci $$\{3,4\}.$$

---

## Ecuații de gradul II #3 — Mediu · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2-9=0$ este:

A. $\{-3,3\}$
B. $\{3\}$
C. $\{9\}$
D. $\{-9,9\}$
E. $\{-3\}$

**Indiciu:** O ecuație de forma $x^2=k$ cu $k>0$ are soluțiile $x=\pm\sqrt{k}$.

**Răspuns corect:** A. $\{-3,3\}$

**Rezolvare**

Trecem termenul liber în membrul drept: $x^2=9$.
$$x=\pm\sqrt{9}=\pm 3.$$
Deci mulțimea soluțiilor este $$\{-3,3\}.$$

---

## Ecuații de gradul II #4 — Mediu · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^2-8x=0$ este:

A. $\{0,4\}$
B. $\{4\}$
C. $\{0,2\}$
D. $\{0,-4\}$
E. $\{-4,4\}$

**Indiciu:** O ecuație fără termen liber se rezolvă dând factor comun: $ax^2+bx=x(ax+b)$.

**Răspuns corect:** A. $\{0,4\}$

**Rezolvare**

Dăm factor comun $2x$: $2x(x-4)=0$.
Un produs este nul când un factor este nul:
$$2x=0\ \Rightarrow\ x=0,\qquad x-4=0\ \Rightarrow\ x=4.$$
Deci mulțimea soluțiilor este $$\{0,4\}.$$

---

## Ecuații de gradul II #5 — Mediu · 5 puncte

Rădăcina pozitivă a ecuației $x^2+x-6=0$ este:

A. $2$
B. $-3$
C. $3$
D. $6$
E. $-2$

**Indiciu:** Pentru $ax^2+bx+c=0$, rădăcinile sunt $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

**Răspuns corect:** A. $2$

**Rezolvare**

Cu $a=1$, $b=1$, $c=-6$ avem $\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25$.
$$x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{-1\pm 5}{2}.$$
Obținem $x_1=\dfrac{4}{2}=2$ și $x_2=\dfrac{-6}{2}=-3$. Rădăcina pozitivă este $$2.$$

---

## Ecuații de gradul II #6 — Mediu · 5 puncte

Numărul de rădăcini reale ale ecuației $x^2-6x+9=0$ este:

A. $1$
B. $2$
C. $0$
D. $3$
E. $4$

**Indiciu:** Natura rădăcinilor depinde de semnul discriminantului $\Delta=b^2-4ac$: $\Delta>0$, $\Delta=0$ sau $\Delta<0$.

**Răspuns corect:** A. $1$

**Rezolvare**

Cu $a=1$, $b=-6$, $c=9$ calculăm
$$\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$
Cum $\Delta=0$, ecuația are o singură rădăcină reală (dublă), deci numărul de rădăcini distincte este $$1.$$

---

## Ecuații de gradul II #7 — Mediu · 5 puncte

Valoarea discriminantului ecuației $x^2-5x+7=0$ este:

A. $-3$
B. $3$
C. $53$
D. $-53$
E. $11$

**Indiciu:** Discriminantul ecuației $ax^2+bx+c=0$ este $\Delta=b^2-4ac$.

**Răspuns corect:** A. $-3$

**Rezolvare**

Identificăm $a=1$, $b=-5$, $c=7$.
$$\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 7=25-28=-3.$$
Deci discriminantul este $$-3.$$

---

## Ecuații de gradul II #8 — Mediu · 5 puncte

Valoarea reală a lui $m$ pentru care ecuația $x^2-4x+m=0$ are o singură rădăcină reală este:

A. $4$
B. $-4$
C. $2$
D. $16$
E. $8$

**Indiciu:** O ecuație de gradul al II-lea are o singură rădăcină reală (dublă) când $\Delta=0$.

**Răspuns corect:** A. $4$

**Rezolvare**

Cu $a=1$, $b=-4$, $c=m$ avem $\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot m=16-4m$.
Punem condiția $\Delta=0$:
$$16-4m=0\ \Rightarrow\ 4m=16\ \Rightarrow\ m=4.$$
Deci $$m=4.$$

---

## Ecuații de gradul II #9 — Avansat · 5 puncte

Pentru rădăcinile $x_1$ și $x_2$ ale ecuației $x^2-10x+21=0$, valoarea sumei $x_1^2+x_2^2$ este:

A. $58$
B. $100$
C. $142$
D. $79$
E. $121$

**Indiciu:** Relațiile lui Viète: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$, iar $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.

**Răspuns corect:** A. $58$

**Rezolvare**

Din Viète: $x_1+x_2=10$ și $x_1x_2=21$.
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10^2-2\cdot 21.$$
$$=100-42=58.$$

---

## Ecuații de gradul II #10 — Avansat · 5 puncte

Pentru rădăcinile $x_1$ și $x_2$ ale ecuației $x^2-8x+15=0$, valoarea sumei $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ este:

A. $\dfrac{8}{15}$
B. $\dfrac{15}{8}$
C. $-\dfrac{8}{15}$
D. $-\dfrac{15}{8}$
E. $\dfrac{1}{15}$

**Indiciu:** Relațiile lui Viète: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ și $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$, iar $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{8}{15}$

**Rezolvare**

Din Viète: $x_1+x_2=8$ și $x_1x_2=15$. Aducem suma fracțiilor la același numitor:
$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{8}{15}.$$

---

## Ecuații de gradul II #11 — Avansat · 5 puncte

Știind că una dintre rădăcinile ecuației $x^2-5x+m=0$ este $4$, cealaltă rădăcină este:

A. $1$
B. $4$
C. $5$
D. $-1$
E. $9$

**Indiciu:** Relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$.

**Răspuns corect:** A. $1$

**Rezolvare**

Notăm rădăcinile $x_1=4$ și $x_2$. Din relația sumei,
$$x_1+x_2=5\ \Rightarrow\ 4+x_2=5.$$
$$x_2=5-4=1.$$

---

## Ecuații de gradul II #12 — Avansat · 5 puncte

Mulțimea soluțiilor ecuației $x^2=3x$ este:

A. $\{3\}$
B. $\{0\}$
C. $\{-3,\,3\}$
D. $\{0,\,3\}$

**Indiciu:** Trece totul într-un membru și dă factor comun — **nu** împărți prin $x$.

**Răspuns corect:** D. $\{0,\,3\}$

**Rezolvare**

$$x^2-3x=0\iff x(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=0\ \text{sau}\ x=3.$$

$$S=\{0,\,3\}.$$ ✓

Împărțind prin $x$ s-ar obține doar $x=3$ — soluția $x=0$ s-ar **pierde**, fiindcă împărțirea la zero nu este permisă.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.