[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-8/geometrie-in-spatiu

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-8/geometrie-in-spatiu**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-8/geometrie-in-spatiu** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Geometrie în spațiu — clasa a 8-a

Clasa a 8-a · 32 exerciții cu geometrie în spațiu în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de Evaluarea Națională.

## Geometrie în spațiu #1 — Începător · 5 puncte

Un paralelipiped dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ are dimensiunile $AB=3\ \text{cm}$, $AD=4\ \text{cm}$ și $AA'=12\ \text{cm}$. Care este lungimea diagonalei spațiale $AC'$?

A. $13\ \text{cm}$
B. $5\ \text{cm}$
C. $169\ \text{cm}$
D. $19\ \text{cm}$

**Indiciu:** Diagonala spațială a paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile $a$, $b$, $c$ este $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

**Răspuns corect:** A. $13\ \text{cm}$

**Rezolvare**

$$D = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}.$$

---

## Geometrie în spațiu #2 — Începător · 5 puncte

Un paralelipiped dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ are $AB = 3\ \text{cm}$, $BC = 4\ \text{cm}$ și $AA' = 12\ \text{cm}$. Cât este lungimea diagonalei $AC'$?

A. $13\ \text{cm}$
B. $5\ \text{cm}$
C. $19\ \text{cm}$
D. $169\ \text{cm}$

**Indiciu:** Diagonala spațială a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$, $b$, $c$ este $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

**Răspuns corect:** A. $13\ \text{cm}$

**Rezolvare**

$$AC' = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}.$$

---

## Geometrie în spațiu #3 — Mediu · 5 puncte

Un trunchi de con are raza bazei mari $r_1=6\ \text{cm}$, raza bazei mici $r_2=3\ \text{cm}$ și înălțimea $h=4\ \text{cm}$. Care este volumul trunchiului de con?

A. $60\pi\ \text{cm}^3$
B. $84\pi\ \text{cm}^3$
C. $96\pi\ \text{cm}^3$
D. $108\pi\ \text{cm}^3$

**Indiciu:** Volumul trunchiului de con: $V=\dfrac{\pi h}{3}\left(r_1^2+r_1r_2+r_2^2\right)$.

**Răspuns corect:** B. $84\pi\ \text{cm}^3$

**Rezolvare**

$V=\dfrac{\pi\cdot4}{3}\left(6^2+6\cdot3+3^2\right)=\dfrac{4\pi}{3}\cdot63=84\pi\ \text{cm}^3$.

---

## Geometrie în spațiu #4 — Mediu · 5 puncte

Cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $6\ \text{cm}$, iar $M$ este mijlocul muchiei $B'C'$. Care este distanța de la vârful $A$ la punctul $M$?

A. $9\ \text{cm}$
B. $6\sqrt{2}\ \text{cm}$
C. $3\sqrt{5}\ \text{cm}$
D. $6\sqrt{3}\ \text{cm}$

**Indiciu:** Triunghiul $AB'M$ este dreptunghic în $B'$ (deoarece $B'C'$ este perpendiculară pe planul feței $ABB'A'$), deci $AM^2 = AB'^2 + B'M^2$.

**Răspuns corect:** A. $9\ \text{cm}$

**Rezolvare**

Diagonala feței $ABB'A'$ este $AB' = 6\sqrt{2}\ \text{cm}$, iar $B'M$ este jumătate din muchia $B'C'$, deci $B'M = 3\ \text{cm}$.
Deoarece $B'C' \perp$ planul $(ABB'A')$, triunghiul $AB'M$ este dreptunghic în $B'$:
$$AM^2 = AB'^2 + B'M^2 = \left(6\sqrt{2}\right)^2 + 3^2 = 72 + 9 = 81,$$
de unde $AM = 9\ \text{cm}$.

---

## Geometrie în spațiu #5 — Mediu · 5 puncte

Cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia de $6\\ \\text{cm}$. Care este distanța de la vârful $A$ la dreapta $BD'$?

A. $2\sqrt{6}\ \text{cm}$
B. $6\ \text{cm}$
C. $6\sqrt{2}\ \text{cm}$
D. $6\sqrt{3}\ \text{cm}$
E. $3\sqrt{6}\ \text{cm}$

**Indiciu:** Într-un triunghi dreptunghic, distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză (înălțimea corespunzătoare) este $h=\\dfrac{c_1\\cdot c_2}{ip}$, unde $c_1,c_2$ sunt catetele și $ip$ ipotenuza.

**Răspuns corect:** A. $2\sqrt{6}\ \text{cm}$

**Rezolvare**

Muchia $AB$ este perpendiculară pe fața $ADD'A'$, deci $AB\\perp AD'$: triunghiul $ABD'$ este dreptunghic în $A$.
Catetele sunt $AB=6\\ \\text{cm}$ și $AD'=6\\sqrt{2}\\ \\text{cm}$ (diagonala feței $ADD'A'$), iar ipotenuza este $BD'=6\\sqrt{3}\\ \\text{cm}$ (diagonala cubului).
Distanța de la $A$ la dreapta $BD'$ este înălțimea din $A$ pe ipotenuză:
$$d=\\dfrac{AB\\cdot AD'}{BD'}=\\dfrac{6\\cdot 6\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}}=\\dfrac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}=2\\sqrt{6}\\ \\text{cm}.$$

---

## Geometrie în spațiu #6 — Mediu · 5 puncte

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $4\ \text{cm}$ și înălțimea $2\sqrt{3}\ \text{cm}$. Cât măsoară unghiul diedru dintre o față laterală și planul bazei?

A. $60°$
B. $30°$
C. $45°$
D. $90°$

**Indiciu:** Unghiul diedru dintre o față laterală și bază, la o piramidă regulată, este unghiul dintre înălțimea piramidei $VO$ și apotema bazei $OM$ (perpendiculara din centrul bazei pe muchia bazei): $\tg(\text{unghi}) = \dfrac{VO}{OM}$.

**Răspuns corect:** A. $60°$

**Rezolvare**

Fie $O$ centrul bazei și $M$ mijlocul laturii $AB$. Atunci $OM = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{cm}$, iar $VO \perp (ABC)$, cu $VO = 2\sqrt{3}\ \text{cm}$.

Cum $OM \perp AB$ și, conform teoremei celor trei perpendiculare, $VM \perp AB$, unghiul diedru dintre fața laterală $(VAB)$ și bază este $\angle VMO$.

$$\tg(\angle VMO) = \dfrac{VO}{OM} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow \angle VMO = 60°.$$

---

## Geometrie în spațiu #7 — Avansat · 5 puncte

Cubul $ABCDA'B'C'D'$ are muchia $6\ \text{cm}$. Care este distanța de la vârful $A$ la planul $(BDD'B')$?

A. $3\sqrt{2}\ \text{cm}$
B. $6\sqrt{2}\ \text{cm}$
C. $3\ \text{cm}$
D. $3\sqrt{3}\ \text{cm}$

**Indiciu:** Planul $(BDD'B')$ conține diagonala $BD$ a bazei și este perpendicular pe planul $(ABCD)$, deci distanța de la $A$ la acest plan este egală cu distanța de la $A$ la dreapta $BD$, calculată în pătratul $ABCD$.

**Răspuns corect:** A. $3\sqrt{2}\ \text{cm}$

**Rezolvare**

Planul $(BDD'B')$ este perpendicular pe baza $ABCD$ și conține diagonala $BD$, deci distanța căutată este distanța de la $A$ la dreapta $BD$, calculată în pătrat.

Diagonala pătratului: $$BD = 6\sqrt{2}\ \text{cm}.$$

Aria triunghiului $ABD$ este jumătate din aria pătratului: $A_{ABD} = \dfrac{6^2}{2} = 18\ \text{cm}^2$.

Distanța de la $A$ la $BD$: $$d = \dfrac{2 \cdot A_{ABD}}{BD} = \dfrac{36}{6\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}.$$

---

## Geometrie în spațiu #8 — Avansat · 5 puncte

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are baza un pătrat cu latura de $8\ \text{cm}$, iar apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale) este de $8\ \text{cm}$. Care este măsura unghiului diedru dintre o față laterală și planul bazei?

A. $60°$
B. $30°$
C. $45°$
D. $90°$

**Indiciu:** Unghiul diedru dintre o față laterală și planul bazei este unghiul plan $\angle VMO$, unde $O$ este proiecția lui $V$ pe bază și $M$ este mijlocul unei laturi a bazei (teorema celor trei perpendiculare); în triunghiul dreptunghic $VOM$, $\tan(\angle VMO) = \dfrac{VO}{OM}$.

**Răspuns corect:** A. $60°$

**Rezolvare**

Fie $O$ proiecția vârfului $V$ pe planul bazei (centrul pătratului $ABCD$) și $M$ mijlocul laturii $AB$. Atunci $OM \perp AB$, cu $OM = \dfrac{a}{2} = 4\ \text{cm}$, iar din teorema celor trei perpendiculare ($VO \perp$ baza, $OM \perp AB$) rezultă $VM \perp AB$, deci unghiul diedru căutat este $\angle VMO$.

În triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în $O$):
$$VO = \sqrt{VM^2 - OM^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt3\ \text{cm}.$$
$$\tan(\angle VMO) = \dfrac{VO}{OM} = \dfrac{4\sqrt3}{4} = \sqrt3 \ \Rightarrow\ \angle VMO = 60°.$$

---

## Geometrie în spațiu #9 — Avansat · 5 puncte

O piramidă triunghiulară regulată $VABC$ are latura bazei $a=6\ \text{cm}$ și înălțimea piramidei $h=3\ \text{cm}$. Cât măsoară unghiul diedru dintre planul unei fețe laterale și planul bazei?

A. $60^\circ$
B. $30^\circ$
C. $45^\circ$
D. $90^\circ$

**Indiciu:** Teorema celor trei perpendiculare: dacă $VO\perp(ABC)$ și $OM\perp BC$ (cu $M$ mijlocul lui $BC$), atunci $VM\perp BC$, deci unghiul diedru dintre planul $(VBC)$ și planul bazei este unghiul plan $\widehat{VMO}$.

**Răspuns corect:** A. $60^\circ$

**Rezolvare**

Fie $O$ centrul triunghiului echilateral $ABC$ (piciorul înălțimii $VO$) și $M$ mijlocul laturii $BC$. Apotema bazei este
$$OM = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\ \text{cm}.$$
Conform teoremei celor trei perpendiculare, $VM\perp BC$, deci unghiul diedru dintre planul $(VBC)$ și planul bazei este $\widehat{VMO}$:
$$\tan(\widehat{VMO}) = \dfrac{VO}{OM} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{VMO} = 60^\circ.$$

---

## Geometrie în spațiu #10 — Avansat · 5 puncte

Se consideră cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu baza $ABCD$, fața $A'B'C'D'$ și muchiile laterale $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$. Câte dintre cele $12$ muchii ale cubului sunt necoplanare cu diagonala $AC'$?

A. $6$
B. $9$
C. $3$
D. $12$
E. $4$

**Indiciu:** O dreaptă este necoplanară cu $AC'$ doar dacă nu are niciun punct comun cu $AC'$ (deci nu pornește din $A$ sau din $C'$) și, în plus, nu este paralelă cu $AC'$.

**Răspuns corect:** A. $6$

**Rezolvare**

Muchiile care au un capăt comun cu diagonala $AC'$ sunt concurente cu ea, deci nu sunt necoplanare: cele ce pornesc din $A$ ($AB$, $AD$, $AA'$) și cele ce pornesc din $C'$ ($C'B'$, $C'D'$, $C'C$) — în total $6$ muchii.

Celelalte $12-6=6$ muchii ($BC$, $CD$, $A'B'$, $D'A'$, $BB'$, $DD'$) nu ating diagonala $AC'$ și nu au direcția ei (nicio muchie a cubului nu poate fi paralelă cu o diagonală spațială), deci toate sunt necoplanare cu $AC'$.

$$6$$

---

## Geometrie în spațiu #11 — Avansat · 5 puncte

Un trunchi de con provine dintr-un con circular drept cu raza bazei de $8$ cm și înălțimea de $12$ cm, secționat printr-un plan paralel cu baza, la jumătatea distanței dintre vârf și bază. Cât este volumul trunchiului de con?

A. $224\pi$ cm³
B. $160\pi$ cm³
C. $448\pi$ cm³
D. $168\pi$ cm³
E. $256\pi$ cm³

**Indiciu:** Planul paralel tăiat la jumătatea înălțimii desprinde un con mic asemenea cu cel inițial, la raportul de asemănare $1:2$; volumul trunchiului este $V=\dfrac{h}{3}\left(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\right)$.

**Răspuns corect:** A. $224\pi$ cm³

**Rezolvare**

Conul mic este asemenea cu conul inițial, la raportul liniar $1:2$ (planul taie exact la jumătatea înălțimii), deci raza sa este $r = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4$ cm, iar înălțimea trunchiului este $h = 12 - 6 = 6$ cm.
$$V = \dfrac{h}{3}\left(\pi R^2 + \pi r^2 + \pi R r\right) = \dfrac{6}{3}\left(64\pi + 16\pi + 32\pi\right) = 2 \cdot 112\pi = 224\pi \text{ cm}^3.$$

---

## Geometrie în spațiu #12 — Expert · 5 puncte

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de $8$ cm și $4$ cm. Raportul ariilor celor două baze este:

A. $2$
B. $4$
C. $\dfrac12$
D. $8$

**Indiciu:** Raportul ariilor este **pătratul** raportului laturilor.

**Răspuns corect:** B. $4$

**Rezolvare**

$$\frac{\mathcal A_B}{\mathcal A_b}=\frac{8^2}{4^2}=\frac{64}{16}=4.$$ ✓

Echivalent: $\left(\dfrac84\right)^2=2^2=4$ — raportul laturilor este $2$, dar al ariilor este $4$.

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.