[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/cercul-trigonometric

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/cercul-trigonometric**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/cercul-trigonometric** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Cercul trigonometric — clasa a 9-a

Clasa a 9-a · 23 exerciții cu cercul trigonometric în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Cercul trigonometric #1 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $\sin\dfrac{\pi}{6}$ este:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $1$

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

O valoare remarcabilă de pe cercul trigonometric: $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.

---

## Cercul trigonometric #2 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $\cos\dfrac{\pi}{4}$ este:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $1$

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

**Rezolvare**

$\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

---

## Cercul trigonometric #3 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\sin\dfrac{11\pi}{6}$ este:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $-\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

**Indiciu:** $\dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6}$, care se află în cadranul al patrulea.

**Răspuns corect:** B. $-\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

$\sin\!\left(2\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.

---

## Cercul trigonometric #4 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ este:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $-\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

**Indiciu:** Cosinusul este o funcție pară: $\cos(-x) = \cos x$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{2}$

**Rezolvare**

$\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.

---

## Cercul trigonometric #5 — Mediu · 5 puncte

Punctul de pe cercul trigonometric corespunzător lui $x = \dfrac{7\pi}{4}$ se află în:

A. cadranul I
B. cadranul al II-lea
C. cadranul al III-lea
D. cadranul al IV-lea

**Indiciu:** $\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}$ — imediat sub axa $Ox$ pozitivă.

**Răspuns corect:** D. cadranul al IV-lea

**Rezolvare**

$\dfrac{7\pi}{4} \in \!\left(\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, care este cadranul al IV-lea.

---

## Cercul trigonometric #6 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\tg\dfrac{7\pi}{6}$ este:

A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
B. $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
C. $\sqrt{3}$
D. $-\sqrt{3}$

**Indiciu:** $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$. Tangenta are perioada $\pi$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

**Rezolvare**

$\tg\!\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = \tg\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

---

## Cercul trigonometric #7 — Avansat · 5 puncte

Valoarea lui $\sin\dfrac{\pi}{3} + \cos\dfrac{\pi}{6}$ este:

A. $1$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$

**Indiciu:** Observați că $\sin\dfrac{\pi}{3}$ și $\cos\dfrac{\pi}{6}$ sunt funcții coreciprace.

**Răspuns corect:** C. $\sqrt{3}$

**Rezolvare**

$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Suma: $\sqrt{3}$.

---

## Cercul trigonometric #8 — Avansat · 5 puncte

Valoarea lui $\cos75^\circ$ este:

A. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
B. $\dfrac{\sqrt2}{4}$
C. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$

**Indiciu:** Scrie $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ și aplică $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$

**Rezolvare**

$$\cos75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ.$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

Verificare numerică: $\cos75^\circ\approx0{,}2588$, iar $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx\dfrac{2{,}449-1{,}414}{4}\approx0{,}2588$. ✓

---

## Cercul trigonometric #9 — Avansat · 5 puncte

Valoarea expresiei $2\sin^2\dfrac{\pi}{3}+2\cos^2\dfrac{\pi}{6}-3\tan^2\dfrac{\pi}{4}$ este:

A. $1$
B. $3$
C. $-1$
D. $0$

**Indiciu:** Calculează separat fiecare termen folosind $\sin\dfrac\pi3=\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}$ și $\tan\dfrac\pi4=1$, apoi adună.

**Răspuns corect:** D. $0$

**Rezolvare**

$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac34$, deci primul termen: $2\cdot\dfrac34=\dfrac32$.

$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\cos^2\dfrac{\pi}{6}=\dfrac34$, deci al doilea termen: $2\cdot\dfrac34=\dfrac32$.

$\tan\dfrac{\pi}{4}=1\Rightarrow\tan^2\dfrac{\pi}{4}=1$, deci al treilea termen: $3\cdot1=3$.

$$2\sin^2\frac{\pi}{3}+2\cos^2\frac{\pi}{6}-3\tan^2\frac{\pi}{4} = \frac32+\frac32-3 = 3-3=0.$$

Verificare numerică: $2(0{,}8660)^2+2(0{,}8660)^2-3(1)^2 = 1{,}5+1{,}5-3=0$. ✓

---

## Cercul trigonometric #10 — Expert · 5 puncte

Valoarea sumei $\cos20^\circ + \cos100^\circ + \cos140^\circ$ este:

A. $\cos20^\circ$
B. $\dfrac12$
C. $0$
D. $-\dfrac12$

**Indiciu:** Observă că cele trei unghiuri sunt egal distanțate: $100^\circ=20^\circ+120^\circ$ și $140^\circ$ este coterminal (mod $360^\circ$) cu $20^\circ+240^\circ$ (verifică: $\cos140^\circ=\cos(260^\circ)$, iar $260^\circ=20^\circ+240^\circ$). Trei unghiuri egal distanțate la $120^\circ$ pe cerc au suma cosinusurilor egală cu $0$.

**Răspuns corect:** C. $0$

**Rezolvare**

Cele trei unghiuri $20^\circ$, $100^\circ=20^\circ+120^\circ$ și $140^\circ$ sunt, în sens trigonometric, echivalente (prin proprietatea $\cos(360^\circ-x)=\cos x$) cu $20^\circ$, $20^\circ+120^\circ$, $20^\circ+240^\circ$ — trei puncte **egal distanțate** pe cercul trigonometric, la $120^\circ$ unul de altul.

Pentru orice $\theta$, suma $\cos\theta+\cos(\theta+120^\circ)+\cos(\theta+240^\circ)=0$: aceasta este partea reală a sumei $1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$, unde $\varepsilon=\cos120^\circ+i\sin120^\circ$ este o rădăcină cubică nebanală a unității (suma tuturor rădăcinilor cubice ale unității este $0$).

Aplicând cu $\theta=20^\circ$:
$$\cos20^\circ+\cos100^\circ+\cos140^\circ = 0.$$

Verificare numerică: $\cos20^\circ\approx0{,}9397$, $\cos100^\circ\approx-0{,}1736$, $\cos140^\circ\approx-0{,}7660$; suma $\approx0{,}9397-0{,}1736-0{,}7660\approx0{,}0001\approx0$. ✓

---

## Cercul trigonometric #11 — Expert · 5 puncte

Se știe că $\cos x = -\dfrac{4}{5}$ și $\tan x > 0$. Valoarea lui $\sin 2x$ este:

A. $-\dfrac{24}{25}$
B. $\dfrac{24}{25}$
C. $\dfrac{7}{25}$
D. $\dfrac{24}{5}$

**Indiciu:** $\tan x>0$ împreună cu $\cos x<0$ obligă $\sin x<0$ (cadranul III), nu cadranul II. Apoi $\sin 2x = 2\sin x\cos x$.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{24}{25}$

**Rezolvare**

Din $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}>0$ și $\cos x=-\dfrac45<0$, rezultă $\sin x<0$ — deci $x$ este în cadranul **III**, nu în II (unde cosinusul negativ ar veni cu sinus pozitiv).

Din $\sin^2x+\cos^2x=1$: $\sin^2x = 1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$, iar cum $\sin x<0$: $\sin x=-\dfrac35$.

$$\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac45\right)=\frac{24}{25}.$$

Verificare: $\left(-\frac35\right)^2+\left(-\frac45\right)^2=\frac9{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓, iar produsul a doi termeni negativi e pozitiv, confirmând $\sin2x>0$. ✓

---

## Cercul trigonometric #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea diferenței $\cos36^\circ - \cos72^\circ$ este:

A. $\dfrac{\sqrt5}{4}$
B. $\dfrac12$
C. $\dfrac{\sqrt5-1}{4}$
D. $\dfrac{\sqrt5}{2}-\dfrac12$

**Indiciu:** Notează $\theta=36^\circ$ și observă că $5\theta=180^\circ$, deci $3\theta=180^\circ-2\theta$, adică $\cos3\theta=-\cos2\theta$. Dezvoltă ambele părți cu formulele unghiului triplu/dublu — vei obține o ecuație de gradul $3$ în $x=\cos\theta$, cu o rădăcină „evidentă" $x=-1$ pe care o poți factoriza.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac12$

**Rezolvare**

Fie $\theta=36^\circ$, deci $5\theta=180^\circ \Rightarrow 3\theta=180^\circ-2\theta \Rightarrow \cos3\theta=\cos(180^\circ-2\theta)=-\cos2\theta$.

Cu $x=\cos\theta$: $\cos3\theta=4x^3-3x$ și $\cos2\theta=2x^2-1$, deci
$$4x^3-3x = -(2x^2-1) \implies 4x^3+2x^2-3x-1=0.$$

**Pasul de recunoaștere:** testăm $x=-1$: $4(-1)+2(1)-3(-1)-1=-4+2+3-1=0$ — rădăcină! Factorizăm:
$$4x^3+2x^2-3x-1 = (x+1)(4x^2-2x-1).$$

Cum $\cos36^\circ\neq-1$, rezolvăm $4x^2-2x-1=0$: $x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+16}}{8}=\dfrac{1\pm\sqrt5}{4}$. Cum $\cos36^\circ>0$, alegem $\cos36^\circ=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$.

Pentru $\cos72^\circ$, folosim formula unghiului dublu: $\cos72^\circ=2\cos^236^\circ-1 = 2\left(\dfrac{1+\sqrt5}{4}\right)^2-1 = \dfrac{6+2\sqrt5}{8}-1=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$.

**Diferența:**
$$\cos36^\circ-\cos72^\circ = \frac{1+\sqrt5}{4}-\frac{\sqrt5-1}{4} = \frac{2}{4}=\frac12.$$

Verificare numerică: $\cos36^\circ\approx0{,}80902$, $\cos72^\circ\approx0{,}30902$, diferența $\approx0{,}50000=\dfrac12$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.