[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/ecuatii-trigonometrice > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/ecuatii-trigonometrice** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/ecuatii-trigonometrice** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Ecuații trigonometrice — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 24 exerciții cu ecuații trigonometrice în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Ecuații trigonometrice #1 — Începător · 5 puncte Pe $[0, 2\pi)$, ecuația $\sin x = \dfrac{1}{2}$ are exact: A. $1$ soluție B. $2$ soluții C. $3$ soluții D. $4$ soluții **Indiciu:** Există două unghiuri în $[0, 2\pi)$ cu $\sin = 1/2$. **Răspuns corect:** B. $2$ soluții **Rezolvare** $x = \pi/6$ și $x = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$. Două soluții. --- ## Ecuații trigonometrice #2 — Începător · 5 puncte Soluțiile ecuației $\cos x = 0$ pe $[0, 2\pi)$ sunt: A. $x = 0$ B. $x = \pi$ C. $x = \pi/2$ și $x = 3\pi/2$ D. $x = \pi/4$ și $x = 5\pi/4$ **Răspuns corect:** C. $x = \pi/2$ și $x = 3\pi/2$ **Rezolvare** $\cos x = 0 \iff x = \pi/2 + k\pi$. Pe $[0, 2\pi)$: $\pi/2$ și $3\pi/2$. --- ## Ecuații trigonometrice #3 — Mediu · 5 puncte Soluția generală a ecuației $\tg x = 1$ este: A. $x = \pi/4 + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ B. $x = \pi/4 + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ C. $x = \pm \pi/4 + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ D. $x = \pi/4$ **Indiciu:** Tangenta are perioada $\pi$, nu $2\pi$. **Răspuns corect:** B. $x = \pi/4 + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ **Rezolvare** $\arctg(1) = \pi/4$. Soluția generală: $x = \pi/4 + k\pi$ pentru orice întreg $k$. --- ## Ecuații trigonometrice #4 — Mediu · 5 puncte Pe $[0, 2\pi)$, ecuația $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ are câte soluții? A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$ **Indiciu:** Substituiți $u = \sin x$ și factorizați. **Răspuns corect:** C. $3$ **Rezolvare** $2u^2 - u - 1 = (2u + 1)(u - 1) = 0 \Rightarrow u = -1/2$ sau $u = 1$. $\sin x = -1/2$: 2 soluții ($7\pi/6, 11\pi/6$). $\sin x = 1$: 1 soluție ($\pi/2$). Total: $3$. --- ## Ecuații trigonometrice #5 — Mediu · 5 puncte Pe $[0, 2\pi)$, ecuația $\sin 2x = 0$ are exact: A. $1$ soluție B. $2$ soluții C. $3$ soluții D. $4$ soluții **Răspuns corect:** D. $4$ soluții **Rezolvare** $2x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2$. Pe $[0, 2\pi)$: $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$. Patru soluții. --- ## Ecuații trigonometrice #6 — Mediu · 5 puncte Soluția generală a ecuației $\sin x = \cos x$ este: A. $x = \pi/2 + k\pi$ B. $x = \pi/4 + k\pi$ C. $x = \pi/4 + 2k\pi$ D. $x = \pi/2 + 2k\pi$ **Indiciu:** Împărțiți ambii membri cu $\cos x$ (sau cu $\sin x$). **Răspuns corect:** B. $x = \pi/4 + k\pi$ **Rezolvare** $\sin x = \cos x \iff \tg x = 1 \iff x = \pi/4 + k\pi$. --- ## Ecuații trigonometrice #7 — Avansat · 5 puncte Valoarea maximă a funcției $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ este: A. $1 + \sqrt{3}$ B. $2$ C. $\sqrt{3}$ D. $4$ **Indiciu:** Folosiți forma unghiului auxiliar: $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$ cu $R = \sqrt{a^2+b^2}$. **Răspuns corect:** B. $2$ **Rezolvare** $R = \sqrt{1 + 3} = 2$, deci $f(x) = 2\sin(x + \pi/3)$. Valoarea maximă: $2$. --- ## Ecuații trigonometrice #8 — Avansat · 5 puncte Pe $[0, 2\pi)$, ecuația $\cos 2x + \cos x = 0$ are exact: A. $1$ soluție B. $2$ soluții C. $3$ soluții D. $4$ soluții **Indiciu:** Folosiți $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ pentru a obține o ecuație de gradul al II-lea în $\cos x$. **Răspuns corect:** C. $3$ soluții **Rezolvare** $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \Rightarrow (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$. $\cos x = 1/2$: 2 soluții ($\pi/3, 5\pi/3$). $\cos x = -1$: 1 soluție ($\pi$). Total: $3$. --- ## Ecuații trigonometrice #9 — Avansat · 5 puncte Pe $[0, 2\pi)$, ecuația $\sin 2x = \sin x$ are exact: A. $1$ soluție B. $2$ soluții C. $3$ soluții D. $4$ soluții **Indiciu:** Înlocuiți $\sin 2x$ cu $2\sin x \cos x$ și factorizați. **Răspuns corect:** D. $4$ soluții **Rezolvare** $2\sin x \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x (2\cos x - 1) = 0$. $\sin x = 0$: $x \in \{0, \pi\}$. $\cos x = 1/2$: $x \in \{\pi/3, 5\pi/3\}$. Total: $4$. --- ## Ecuații trigonometrice #10 — Expert · 5 puncte Pentru câte valori **întregi** ale parametrului $m$ ecuația $2\sin^2x-(2m+1)\sin x+m=0$ are exact $4$ soluții distincte în intervalul $[0,2\pi)$? A. $1$ B. $0$ C. $2$ D. $3$ **Indiciu:** Factorizează: $2\sin^2x-(2m+1)\sin x+m=(2\sin x-1)(\sin x-m)$. Ramura $\sin x=\dfrac12$ dă mereu $2$ soluții ($\pi/6$ și $5\pi/6$). Pentru ca ramura $\sin x=m$ să adauge încă $2$ soluții **distincte** de acestea, trebuie $m\in(-1,1)$ (excluzând capetele, unde $\sin x=\pm1$ ar da o singură soluție de multiplicitate 1, nu 2) și $m\ne\dfrac12$ (unde ramurile s-ar suprapune). **Răspuns corect:** A. $1$ **Rezolvare** Factorizăm membrul stâng: $$2\sin^2x-(2m+1)\sin x+m = (2\sin x-1)(\sin x-m).$$ Deci ecuația e echivalentă cu $\sin x=\dfrac12$ **sau** $\sin x=m$. **Ramura fixă** $\sin x=\dfrac12$ dă întotdeauna $2$ soluții pe $[0,2\pi)$: $x=\dfrac\pi6$ și $x=\dfrac{5\pi}6$. Pentru un total de exact $4$ soluții **distincte**, ramura $\sin x=m$ trebuie să contribuie cu exact $2$ soluții noi, distincte de $\dfrac\pi6$ și $\dfrac{5\pi}6$. Analizăm cazurile: - Dacă $m\notin[-1,1]$: $\sin x=m$ nu are soluții — total rămâne $2$. - Dacă $m=1$: $\sin x=1$ are o **singură** soluție ($x=\pi/2$, punct de tangență) — total $3$. - Dacă $m=-1$: analog, o singură soluție ($x=3\pi/2$) — total $3$. - Dacă $m=\dfrac12$: ramurile coincid complet — total rămâne $2$ (nu se adaugă nimic nou). - Dacă $m\in(-1,1)$ și $m\ne\dfrac12$: $\sin x=m$ dă exact $2$ soluții noi, distincte de $\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6$ — total $4$. ✓ Deci condiția este $m\in(-1,1)\setminus\left\{\dfrac12\right\}$. Cum $m$ trebuie să fie **întreg**, singura valoare din intervalul deschis $(-1,1)$ este $m=0$ (iar $0\ne\dfrac12$, deci e validă). Există exact **o singură** valoare întreagă: $m=0$. Verificare directă pentru $m=0$: ecuația devine $2\sin^2x-\sin x=0 \iff \sin x(2\sin x-1)=0$, cu soluții $x\in\{0,\pi\}$ (din $\sin x=0$) reunite cu $x\in\left\{\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6\right\}$ (din $\sin x=\frac12$) — total $4$ soluții distincte $\left\{0,\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6,\pi\right\}$. ✓ Verificare suplimentară (scanare pe toate valorile întregi $m\in\{-5,\dots,5\}$): doar $m=0$ produce $4$ soluții; $m=\pm1$ produc $3$; restul produc $2$. ✓ --- ## Ecuații trigonometrice #11 — Expert · 5 puncte Numărul soluțiilor ecuației $\sin 2x=\sin x$ din intervalul $[0,2\pi)$ este: A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $6$ **Indiciu:** Scrie $\sin2x-\sin x=0$, folosește $\sin2x=2\sin x\cos x$ și factorizează după $\sin x$. **Răspuns corect:** B. $4$ **Rezolvare** Ecuația devine, cu $\sin2x=2\sin x\cos x$: $$2\sin x\cos x-\sin x=0 \iff \sin x(2\cos x-1)=0$$ **Cazul 1:** $\sin x=0 \Rightarrow x\in\{0,\pi\}$ (pe $[0,2\pi)$; $x=2\pi$ nu aparține intervalului semi-deschis). **Cazul 2:** $\cos x=\dfrac12 \Rightarrow x\in\left\{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\}$. Toate cele patru valori sunt distincte: $\left\{0,\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3}\right\}$. **Verificare numerică:** pentru $x=\pi/3$: $\sin(2\pi/3)=\frac{\sqrt3}{2}=\sin(\pi/3)$ ✓; pentru $x=5\pi/3$: $\sin(10\pi/3)=\sin(10\pi/3-2\pi)=\sin(4\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}=\sin(5\pi/3)$ ✓. Sunt $4$ soluții. --- ## Ecuații trigonometrice #12 — Legendar · 5 puncte Numărul de soluții reale ale ecuației $\tan x+\tan 2x+\tan 3x=\tan x\cdot\tan 2x\cdot\tan 3x$ din intervalul $(0,\pi)$ (acolo unde toți cei trei termeni sunt definiți) este: A. $5$ B. $2$ C. $3$ D. $0$ **Indiciu:** Există identitatea $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C \iff A+B+C\equiv0\pmod\pi$ (provine din formula lui $\tan(A+B+C)$). Aici $A+B+C=6x$. Găsește toți candidații $x=\dfrac{k\pi}{6}$ din $(0,\pi)$, apoi elimină cei pentru care $x$, $2x$ sau $3x$ face vreo tangentă nedefinită. **Răspuns corect:** B. $2$ **Rezolvare** **Recunoașterea cheie:** din dezvoltarea $\tan(A+B+C)=\dfrac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-\tan A\tan B-\tan B\tan C-\tan C\tan A}$, egalitatea cerută (numărătorul nul) este echivalentă — acolo unde toate tangentele individuale sunt definite — cu $\tan(A+B+C)=0$, adică $A+B+C\equiv0\pmod\pi$. Cu $A=x,B=2x,C=3x$: $A+B+C=6x\equiv0\pmod\pi \Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{6}$, $k=1,\dots,5$ (în $(0,\pi)$): candidați $\dfrac\pi6,\dfrac\pi3,\dfrac\pi2,\dfrac{2\pi}3,\dfrac{5\pi}6$. **Eliminăm candidații unde vreo tangentă e nedefinită:** - $x=\dfrac\pi6$: $3x=\dfrac\pi2$ → $\tan3x$ nedefinit. **Exclus.** - $x=\dfrac\pi2$: $\tan x$ însuși nedefinit. **Exclus.** - $x=\dfrac{5\pi}6$: $3x=\dfrac{5\pi}2$ → $\tan3x$ nedefinit. **Exclus.** Rămân $x=\dfrac\pi3$ și $x=\dfrac{2\pi}3$. Verificăm direct: Pentru $x=\dfrac\pi3$: $\tan\dfrac\pi3=\sqrt3$, $\tan\dfrac{2\pi}3=-\sqrt3$, $\tan\pi=0$. Stânga: $\sqrt3-\sqrt3+0=0$. Dreapta: $\sqrt3\cdot(-\sqrt3)\cdot0=0$. ✓ Pentru $x=\dfrac{2\pi}3$: $\tan\dfrac{2\pi}3=-\sqrt3$, $\tan\dfrac{4\pi}3=\sqrt3$, $\tan2\pi=0$. Stânga: $-\sqrt3+\sqrt3+0=0$. Dreapta: $0$. ✓ Deci ecuația are exact $\mathbf{2}$ soluții reale în $(0,\pi)$ (nu $5$ — capcana e să nu excluzi punctele unde tangentele individuale explodează). ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.