[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/formule-trigonometrice

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/formule-trigonometrice**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/formule-trigonometrice** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Identități trigonometrice — clasa a 9-a

Clasa a 9-a · 15 exerciții cu identități trigonometrice în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Identități trigonometrice #1 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $\sin\dfrac{\pi}{3}$ este:

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $1$

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

**Rezolvare**

$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — o valoare remarcabilă de pe cercul trigonometric.

---

## Identități trigonometrice #2 — Începător · 5 puncte

Dacă $\sin x = \dfrac{1}{3}$, atunci $\cos 2x$ este egal cu:

A. $\dfrac{1}{9}$
B. $\dfrac{2}{9}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{8}{9}$

**Indiciu:** Folosiți $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{7}{9}$

**Rezolvare**

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}$.

---

## Identități trigonometrice #3 — Mediu · 5 puncte

Dat $x \in \!\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ și $\sin x = \dfrac{4}{5}$, calculați $\sin 2x$.

A. $-\dfrac{24}{25}$
B. $-\dfrac{7}{25}$
C. $\dfrac{7}{25}$
D. $\dfrac{24}{25}$

**Indiciu:** $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Găsiți mai întâi $\cos x$; rețineți semnul său în cadranul al doilea.

**Răspuns corect:** A. $-\dfrac{24}{25}$

**Rezolvare**

Deoarece $x \in \!\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$, $\cos x < 0$. Din $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $\cos^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$, deci $\cos x = -\dfrac{3}{5}$.

Atunci $\sin 2x = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \!\left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}$.

---

## Identități trigonometrice #4 — Mediu · 5 puncte

Dacă $\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}$, atunci $\sin x \cos x$ este egal cu:

A. $-\dfrac{3}{8}$
B. $-\dfrac{1}{8}$
C. $\dfrac{1}{8}$
D. $\dfrac{3}{8}$

**Indiciu:** Ridicați la pătrat ambii membri și folosiți $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

**Răspuns corect:** A. $-\dfrac{3}{8}$

**Rezolvare**

$(\sin x + \cos x)^2 = \dfrac{1}{4}$. Dezvoltând: $\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \dfrac{1}{4}$, deci $1 + 2\sin x \cos x = \dfrac{1}{4}$. Prin urmare $\sin x \cos x = -\dfrac{3}{8}$.

---

## Identități trigonometrice #5 — Mediu · 5 puncte

Calculați $\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}$.

A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
D. $1$

**Indiciu:** $\sin A + \sin B = 2 \sin\!\dfrac{A+B}{2} \cos\!\dfrac{A-B}{2}$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

**Rezolvare**

$\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ} = 2\sin\dfrac{90^{\circ}}{2}\cos\dfrac{60^{\circ}}{2} = 2 \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{\sqrt 6}{2}$.

---

## Identități trigonometrice #6 — Mediu · 5 puncte

Dacă $\cos x = \dfrac{3}{5}$ și $x \in \!\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$, atunci $\sin\dfrac{x}{2}$ este egal cu:

A. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
B. $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
C. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
D. $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

**Indiciu:** $\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - \cos x}{2}$. Semnul este pozitiv când $\dfrac{x}{2} \in \left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$.

**Răspuns corect:** A. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

**Rezolvare**

$\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - 3/5}{2} = \dfrac{2/5}{2} = \dfrac{1}{5}$.

Deoarece $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$, avem $\dfrac{x}{2} \in \left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$, deci $\sin\dfrac{x}{2} > 0$ și este egal cu $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.

---

## Identități trigonometrice #7 — Avansat · 5 puncte

Numărul de soluții ale ecuației $\sin 2x = \sqrt{3}\,\cos x$ pe $[0, 2\pi)$ este:

A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $5$

**Indiciu:** Factorizați: $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, deci $\cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$.

**Răspuns corect:** C. $4$

**Rezolvare**

$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Rightarrow \cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$.

- $\cos x = 0 \Rightarrow x \in \!\left\{\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right\}$
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \in \!\left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right\}$

Total: $4$ soluții pe $[0, 2\pi)$.

---

## Identități trigonometrice #8 — Avansat · 5 puncte

Valoarea maximă a funcției $f(x) = \sin x + \cos x$ pe $\mathbb{R}$ este:

A. $1$
B. $\sqrt{2} - 1$
C. $\sqrt{2}$
D. $2$

**Indiciu:** Rescrieți $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

**Răspuns corect:** C. $\sqrt{2}$

**Rezolvare**

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\!\left(\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Deoarece sinusul are maximul $1$, valoarea maximă a lui $f$ este $\sqrt{2}$, atinsă pentru $x = \dfrac{\pi}{4}$.

---

## Identități trigonometrice #9 — Expert · 5 puncte

Valoarea sumei $\cos^2\dfrac{\pi}{9}+\cos^2\dfrac{2\pi}{9}+\cos^2\dfrac{4\pi}{9}$ este:

A. $1$
B. $\dfrac{5}{4}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{9}{4}$

**Indiciu:** Folosește $\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ pentru fiecare termen, apoi arată că $\cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{8\pi}{9}=0$ grupând primul și ultimul termen cu formula sumă-produs.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{3}{2}$

**Rezolvare**

Reducem puterile cu $\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$:

$$\cos^2\frac{\pi}{9}+\cos^2\frac{2\pi}{9}+\cos^2\frac{4\pi}{9} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{8\pi}{9}\right)$$

Notăm $S = \cos\dfrac{2\pi}{9}+\cos\dfrac{4\pi}{9}+\cos\dfrac{8\pi}{9}$ și grupăm primul cu al treilea termen prin formula sumă-produs $\cos a+\cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}$:

$$\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{8\pi}{9} = 2\cos\frac{5\pi}{9}\cos\frac{\pi}{3} = 2\cos\frac{5\pi}{9}\cdot\frac12 = \cos\frac{5\pi}{9}$$

Cum $\dfrac{5\pi}{9} = \pi - \dfrac{4\pi}{9}$, avem $\cos\dfrac{5\pi}{9} = -\cos\dfrac{4\pi}{9}$, deci:

$$S = -\cos\frac{4\pi}{9} + \cos\frac{4\pi}{9} = 0$$

Prin urmare suma cerută este $\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{3}{2}$.

**Verificare numerică:** $\cos^2 20° + \cos^2 40° + \cos^2 80° \approx 0{,}883+0{,}587+0{,}030 = 1{,}5$. ✓

---

## Identități trigonometrice #10 — Expert · 5 puncte

Valoarea maximă a expresiei $E(x)=3\sin x+4\cos x+1$, pentru $x\in\mathbb{R}$, este:

A. $5$
B. $7$
C. $8$
D. $6$

**Indiciu:** Scrie $3\sin x+4\cos x=R\sin(x+\varphi)$ cu $R=\sqrt{3^2+4^2}$, apoi maximul lui $E$ este $R+1$.

**Răspuns corect:** D. $6$

**Rezolvare**

Pentru $a\sin x+b\cos x$, amplitudinea este $R=\sqrt{a^2+b^2}$, iar expresia se poate scrie $R\sin(x+\varphi)$ pentru un $\varphi$ potrivit, deci ia toate valorile din $[-R,R]$.

$$R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Deci $3\sin x+4\cos x\in[-5,5]$, cu maximul $5$ atins când $\sin(x+\varphi)=1$. Atunci:

$$E(x)_{\max}=5+1=6$$

**Verificare numerică:** pentru $\varphi=\arctan\frac43$, la $x=\frac{\pi}{2}-\varphi$ avem $3\sin x+4\cos x=5$ (verificabil direct: cu $\sin x=\frac35,\cos x=\frac45$ obținem $3\cdot\frac35+4\cdot\frac45=\frac{9+16}{5}=5$), deci $E=5+1=6$. ✓

---

## Identități trigonometrice #11 — Expert · 5 puncte

Valoarea produsului $\tan\dfrac{\pi}{5}\cdot\tan\dfrac{2\pi}{5}$ este:

A. $\sqrt{5}$
B. $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $\sqrt{3}$

**Indiciu:** Folosește identitatea cunoscută $\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$ și $\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$ (vezi problema cu pentagonul), apoi calculează sinusurile din formula fundamentală și formează raportul $\tan\dfrac{\pi}{5}\tan\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}}{\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}$.

**Răspuns corect:** A. $\sqrt{5}$

**Rezolvare**

Din valorile exacte $\cos\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$ și $\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$ obținem, folosind $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$:

$$\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4},\qquad \sin\frac{2\pi}{5}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt5-1}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}$$

Atunci:

$$\tan\frac{\pi}{5}\tan\frac{2\pi}{5}=\frac{\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}}{\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}=\frac{\dfrac{\sqrt{(10-2\sqrt5)(10+2\sqrt5)}}{16}}{\dfrac{(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}{16}}=\frac{\sqrt{100-20}}{4}=\frac{\sqrt{80}}{4}$$

Numărătorul produsului cosinusurilor este $(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)=5-1=4$, iar $\sqrt{80}=4\sqrt5$, deci:

$$\tan\frac{\pi}{5}\tan\frac{2\pi}{5}=\frac{4\sqrt5}{4}=\sqrt5$$

**Verificare numerică:** $\tan 36°\cdot\tan 72°\approx 0{,}7265\cdot 3{,}0777\approx 2{,}236\approx\sqrt5$. ✓

---

## Identități trigonometrice #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea produsului $\cos\dfrac{\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{3\pi}{7}$ este:

A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac18$
C. $\dfrac{\sqrt3}{8}$
D. $\dfrac14$

**Indiciu:** Înmulțește produsul cu $2\sin\dfrac{\pi}{7}$ și aplică repetat $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$; observă că la final apare $\sin\pi=0$, ceea ce prăbușește lanțul.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac18$

**Rezolvare**

Notăm $t=\dfrac{\pi}{7}$ și $P=\cos t\cos2t\cos3t$. Înmulțim cu $2\sin t\neq0$:

$$2\sin t\cdot P=(2\sin t\cos t)\cos2t\cos3t=\sin2t\cos2t\cos3t$$

Aplicăm din nou $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ (înmulțind și împărțind cu $2$):

$$2\sin t\cdot P=\frac12(2\sin2t\cos2t)\cos3t=\frac12\sin4t\cos3t$$

Folosim formula produs-sumă $2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$ pentru $2\sin4t\cos3t$:

$$2\sin t\cdot P=\frac14\left(2\sin4t\cos3t\right)=\frac14\big(\sin7t+\sin t\big)$$

Dar $7t=\pi$, deci $\sin7t=\sin\pi=0$, iar:

$$2\sin t\cdot P=\frac14\sin t \implies P=\frac18\quad(\text{împărțind prin }2\sin t\neq0)$$

**Verificare numerică:** $\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}\approx0{,}9010\cdot0{,}6235\cdot0{,}2225\approx0{,}1250=\dfrac18$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.