[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functia-de-gradul-1 > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functia-de-gradul-1** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functia-de-gradul-1** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Funcția de Gradul I — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 56 exerciții cu funcția de gradul i în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Funcția de Gradul I #1 — Începător · 5 puncte Pentru $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 4$, valoarea lui $x$ pentru care $f(x) = 0$ este: A. $-4$ B. $-2$ C. $2$ D. $4$ **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. --- ## Funcția de Gradul I #2 — Începător · 5 puncte Soluția ecuației $3x + 5 = 14$ este: A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $\dfrac{14}{3}$ **Răspuns corect:** B. $3$ **Rezolvare** $3x = 14 - 5 = 9 \Rightarrow x = 3$. --- ## Funcția de Gradul I #3 — Mediu · 5 puncte Mulțimea soluțiilor inecuației $2x - 3 > 5$ în $\mathbb{R}$ este: A. $(-\infty, 4)$ B. $(-\infty, 4]$ C. $(4, +\infty)$ D. $[4, +\infty)$ **Indiciu:** Adunați $3$ la ambii membri, apoi împărțiți la $2$ (pozitiv — sensul inecuației se păstrează). **Răspuns corect:** C. $(4, +\infty)$ **Rezolvare** $2x > 8 \Rightarrow x > 4$, deci mulțimea soluțiilor este $(4, +\infty)$. --- ## Funcția de Gradul I #4 — Mediu · 5 puncte Perechea $(x, y)$ care satisface $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ este: A. $(1, 4)$ B. $(2, 3)$ C. $(3, 2)$ D. $(4, 1)$ **Indiciu:** Adunați cele două ecuații pentru a elimina $y$. **Răspuns corect:** B. $(2, 3)$ **Rezolvare** Adunând: $3x = 6 \Rightarrow x = 2$. Apoi $y = 5 - 2 = 3$. Deci $(x, y) = (2, 3)$. --- ## Funcția de Gradul I #5 — Mediu · 5 puncte Panta dreptei care trece prin $A(1, 2)$ și $B(4, 11)$ este: A. $\dfrac{1}{3}$ B. $2$ C. $3$ D. $9$ **Indiciu:** $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. **Răspuns corect:** C. $3$ **Rezolvare** $m = \dfrac{11 - 2}{4 - 1} = \dfrac{9}{3} = 3$. --- ## Funcția de Gradul I #6 — Mediu · 5 puncte Mulțimea soluțiilor ecuației $|2x - 1| = 5$ este: A. $\{3\}$ B. $\{-2\}$ C. $\{-2, 3\}$ D. $\{2, -3\}$ **Indiciu:** $|y| = 5 \Leftrightarrow y = 5$ sau $y = -5$. **Răspuns corect:** C. $\{-2, 3\}$ **Rezolvare** $2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$, sau $2x - 1 = -5 \Rightarrow x = -2$. Mulțimea soluțiilor: $\{-2, 3\}$. --- ## Funcția de Gradul I #7 — Avansat · 5 puncte Mulțimea soluțiilor inecuației $|x - 2| < 3$ este: A. $(-3, 3)$ B. $(-1, 5)$ C. $(2, 5)$ D. $[-1, 5]$ **Indiciu:** $|x - a| < r \Leftrightarrow x \in (a - r,\, a + r)$. **Răspuns corect:** B. $(-1, 5)$ **Rezolvare** $|x - 2| < 3 \Leftrightarrow -3 < x - 2 < 3 \Leftrightarrow -1 < x < 5$. Mulțimea soluțiilor este $(-1, 5)$. --- ## Funcția de Gradul I #8 — Avansat · 5 puncte Fie $(x, y)$ soluția sistemului $\begin{cases} 3x + 4y = 15 \\ 3x - y = 0 \end{cases}$. Valoarea lui $A = x^2 + y^2$ este: A. $4$ B. $9$ C. $10$ D. $25$ **Indiciu:** Rezolvați mai întâi sistemul; scădeți ecuațiile pentru a elimina $x$. **Răspuns corect:** C. $10$ **Rezolvare** Scăzând: $5y = 15 \Rightarrow y = 3$. Apoi $3x = y = 3 \Rightarrow x = 1$. Deci $A = 1 + 9 = 10$. --- ## Funcția de Gradul I #9 — Avansat · 5 puncte Se dă ecuația $(m-1)x=2m+3$, unde $m\in\mathbb{R}$. Valoarea lui $m$ pentru care ecuația nu are nicio soluție este: A. $-1$ B. $\frac32$ C. $1$ D. $-\frac32$ **Indiciu:** O ecuație de forma $ax=b$ nu are soluție exact atunci când $a=0$ și $b\ne0$. **Răspuns corect:** C. $1$ **Rezolvare** Coeficientul lui $x$ se anulează pentru $m-1=0$, adică $m=1$. Pentru $m=1$, membrul drept devine $2\cdot1+3=5\ne0$, deci ecuația devine $0\cdot x=5$, imposibilă — nicio soluție. Pentru orice $m\ne1$, ecuația are soluția unică $x=\dfrac{2m+3}{m-1}$. Verificare: la $m=1$ obținem $0=5$, fals pentru orice $x$. ✓ --- ## Funcția de Gradul I #10 — Expert · 5 puncte Numărul de soluții reale ale ecuației $\lfloor x\rfloor\cdot\{x\}=\dfrac34$, cu $x\in[1,5)$, este: A. $3$ B. $5$ C. $4$ D. $2$ **Indiciu:** Scrie $x=n+f$ cu $n=\lfloor x\rfloor\in\{1,2,3,4\}$ (pentru $x\in[1,5)$) și $f=\{x\}\in[0,1)$. Pentru fiecare $n$, rezolvă $n\cdot f=\frac34$ și verifică dacă $f$ cade în $[0,1)$. **Răspuns corect:** C. $4$ **Rezolvare** Pentru $x\in[1,5)$, avem $n=\lfloor x\rfloor\in\{1,2,3,4\}$. Ecuația $n\cdot f=\dfrac34$ dă $f=\dfrac{3}{4n}$, care trebuie să fie în $[0,1)$. Pentru fiecare valoare a lui $n$: $n=1\Rightarrow f=\frac34$ (valid, $x=\frac74$); $n=2\Rightarrow f=\frac38$ (valid, $x=\frac{19}{8}$); $n=3\Rightarrow f=\frac14$ (valid, $x=\frac{13}{4}$); $n=4\Rightarrow f=\frac{3}{16}$ (valid, $x=\frac{67}{16}$). Toate cele $4$ valori ale lui $f$ sunt în $[0,1)$, deci ecuația are $4$ soluții reale în $[1,5)$: $x\in\left\{\frac74,\frac{19}{8},\frac{13}{4},\frac{67}{16}\right\}$. Verificare: pentru fiecare, $\lfloor x\rfloor\cdot\{x\}=n\cdot\frac{3}{4n}=\frac34$. ✓ --- ## Funcția de Gradul I #11 — Expert · 5 puncte Pentru câte valori întregi ale parametrului $m$, cu $-10\le m\le 10$, ecuația $$(m-2)x = m^2-4$$ NU are nicio soluție reală? A. $2$ B. $1$ C. $21$ D. $0$ **Indiciu:** Factorizează membrul drept: $m^2-4=(m-2)(m+2)$. Ce se întâmplă exact când $m=2$ (coeficientul lui $x$ se anulează)? **Răspuns corect:** D. $0$ **Rezolvare** Rescriem ecuația ca $(m-2)x=(m-2)(m+2)$. - Dacă $m\ne 2$: împărțim prin $m-2\ne0$ și obținem soluția unică $x=m+2$. - Dacă $m=2$: ecuația devine $0\cdot x=0$, adevărată pentru orice $x\in\mathbb{R}$ — deci infinite soluții, nu "nicio soluție". Așadar, pentru **orice** valoare a lui $m$ (fie ea diferită de $2$, fie egală cu $2$), ecuația are cel puțin o soluție. Nu există niciun $m$ pentru care ecuația să fie imposibilă. Numărul de valori întregi din $[-10,10]$ care dau "nicio soluție" este $\boxed{0}$. Verificare (scanare $m=-10,\dots,10$): pentru fiecare, fie soluție unică $x=m+2$ (când $m\ne2$), fie infinite soluții (la $m=2$) — niciodată "fără soluție". ✓ --- ## Funcția de Gradul I #12 — Legendar · 5 puncte Numărul soluțiilor reale ale ecuației $$\big|\,|x-1|-|x-3|\,\big| = 2$$ este: A. $0$ B. $2$ C. $4$ D. o infinitate **Indiciu:** Notează $g(x)=|x-1|-|x-3|$ și studiază-i variația pe cele trei intervale determinate de $1$ și $3$. Ce valori constante ia $g$ în afara intervalului $[1,3]$? **Răspuns corect:** D. o infinitate **Rezolvare** Fie $g(x)=|x-1|-|x-3|$. - Pentru $x\le 1$: $g(x)=(1-x)-(3-x)=-2$ (constant). - Pentru $x\ge 3$: $g(x)=(x-1)-(x-3)=2$ (constant). - Pentru $x\in(1,3)$: $g(x)=(x-1)-(3-x)=2x-4$, care variază strict crescător de la $-2$ (exclus) la $2$ (exclus). Ecuația $|g(x)|=2$ cere $g(x)=2$ sau $g(x)=-2$. - $g(x)=2$: se atinge pentru **orice** $x\ge 3$ (platou constant), plus limita din interior nu se atinge strict. - $g(x)=-2$: se atinge pentru **orice** $x\le 1$. Deci mulțimea soluțiilor este $(-\infty,1]\cup[3,\infty)$ — o infinitate de soluții. Verificare numerică: $x=-5\Rightarrow g=-2$ ✓; $x=100\Rightarrow g=2$ ✓; $x=2$ (mijloc) $\Rightarrow g=0$, $|g|=0\ne 2$, deci intervalul $(1,3)$ nu contribuie cu soluții (cu excepția capetelor $1,3$ deja incluse). ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.