[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functia-de-gradul-2 > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functia-de-gradul-2** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functia-de-gradul-2** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Funcția de Gradul al II-lea — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 55 exerciții cu funcția de gradul al ii-lea în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Funcția de Gradul al II-lea #1 — Începător · 5 puncte Rădăcinile ecuației $x^2 - 5x + 6 = 0$ sunt: A. $1$ și $6$ B. $-2$ și $-3$ C. $2$ și $3$ D. $-1$ și $-6$ **Indiciu:** Descompuneți: $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ unde $r_1 + r_2 = 5$ și $r_1 r_2 = 6$. **Răspuns corect:** C. $2$ și $3$ **Rezolvare** $(x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x \in \{2, 3\}$. --- ## Funcția de Gradul al II-lea #2 — Începător · 5 puncte Discriminantul ecuației $2x^2 - 3x - 5 = 0$ este: A. $49$ B. $9$ C. $-31$ D. $29$ **Indiciu:** $\Delta = b^2 - 4ac$. **Răspuns corect:** A. $49$ **Rezolvare** $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. --- ## Funcția de Gradul al II-lea #3 — Mediu · 5 puncte Pentru ecuația $2x^2 - 7x + 3 = 0$ cu rădăcinile $x_1, x_2$, calculați $x_1 + x_2$. A. $-7$ B. $-\dfrac{3}{2}$ C. $\dfrac{7}{2}$ D. $7$ **Indiciu:** Prin relațiile lui Viète, $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$. **Răspuns corect:** C. $\dfrac{7}{2}$ **Rezolvare** $x_1 + x_2 = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}$. (Și produsul este $\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2}$.) --- ## Funcția de Gradul al II-lea #4 — Mediu · 5 puncte Mulțimea soluțiilor inecuației $x^2 - 4 < 0$ în $\mathbb{R}$ este: A. $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ B. $\{-2, 2\}$ C. $(-2, 2)$ D. $[-2, 2]$ **Indiciu:** $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Produsul este negativ între rădăcini. **Răspuns corect:** C. $(-2, 2)$ **Rezolvare** $(x - 2)(x + 2) < 0 \Leftrightarrow x \in (-2, 2)$. --- ## Funcția de Gradul al II-lea #5 — Mediu · 5 puncte Pentru ce valori $m \in \mathbb{R}$ ecuația $x^2 + (m - 2)x + 1 = 0$ are o rădăcină dublă? A. Numai $m = 0$ B. Numai $m = 4$ C. $m \in \{-2, 2\}$ D. $m \in \{0, 4\}$ **Indiciu:** Rădăcina dublă apare dacă și numai dacă $\Delta = 0$. **Răspuns corect:** D. $m \in \{0, 4\}$ **Rezolvare** $\Delta = (m - 2)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (m - 2)^2 = 4 \Rightarrow m - 2 = \pm 2 \Rightarrow m \in \{0, 4\}$. --- ## Funcția de Gradul al II-lea #6 — Mediu · 5 puncte Valoarea minimă a funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 6x + 8$ este: A. $-1$ B. $0$ C. $1$ D. $8$ **Indiciu:** Vârful unei parabole cu ramuri în sus dă minimul: $f_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4a}$. **Răspuns corect:** A. $-1$ **Rezolvare** $\Delta = 36 - 32 = 4$, $a = 1$, deci $f_{\min} = -\dfrac{4}{4} = -1$ (atins pentru $x = 3$). --- ## Funcția de Gradul al II-lea #7 — Avansat · 5 puncte Dacă $x_1, x_2$ sunt rădăcinile ecuației $x^2 - 5x + 4 = 0$, valoarea lui $x_1^2 + x_2^2$ este: A. $9$ B. $13$ C. $17$ D. $25$ **Indiciu:** $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$. **Răspuns corect:** C. $17$ **Rezolvare** Prin relațiile lui Viète: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 x_2 = 4$. Deci $x_1^2 + x_2^2 = 25 - 8 = 17$. --- ## Funcția de Gradul al II-lea #8 — Avansat · 5 puncte Imaginea funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = -x^2 + 4x - 1$, este: A. $\mathbb{R}$ B. $[3, +\infty)$ C. $(-\infty, 3]$ D. $(-\infty, -1]$ **Indiciu:** Coeficientul dominant este negativ, deci parabola are ramurile în jos și $f$ are un maxim. **Răspuns corect:** C. $(-\infty, 3]$ **Rezolvare** $\Delta = 16 - 4 = 12$, $a = -1$, deci $f_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{12}{-4} = 3$. Imaginea este $(-\infty, 3]$. --- ## Funcția de Gradul al II-lea #9 — Avansat · 5 puncte Fie $r_1, r_2, r_3$ radacinile ecuatiei $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$. Calculati $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2$. A. $11$ B. $14$ C. $25$ D. $36$ **Indiciu:** Folositi $\left(\sum r_i\right)^2 = \sum r_i^2 + 2\sum_{i0$ și abscisa vârfului $>1$. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** **Condiția $\Delta\ge0$:** $$\Delta=4m^2-4(3m-2)=4(m^2-3m+2)=4(m-1)(m-2)\ge0 \implies m\le1 \text{ sau } m\ge2.$$ **Condiția $f(1)>0$:** $$f(1)=1-2m+3m-2=m-1>0 \implies m>1.$$ **Condiția abscisă vârf $>1$:** vârful este la $x=m$, deci $m>1$ (aceeași condiție). Combinând toate condițiile: $m\ge2$. Cea mai mică valoare întreagă este $m=2$. Verificare: la $m=2$: $x^2-4x+4=0\Rightarrow(x-2)^2=0$, rădăcină dublă $x=2>1$ ✓; la $m=1$ (exclus, testat la graniță): $x^2-2x+1=0\Rightarrow(x-1)^2=0$, rădăcina $x=1$ nu este strict $>1$ ✓. --- ## Funcția de Gradul al II-lea #11 — Expert · 5 puncte Se dă ecuația $x^2-2mx+m^2-4=0$, $m\in\mathbb{R}$. Valorile lui $m$ pentru care ambele rădăcini ale ecuației aparțin intervalului $(-3,3)$ formează mulțimea: A. $(-3,3)$ B. $(-5,1)$ C. $(-1,5)$ D. $(-1,1)$ **Indiciu:** Trinomul este o diferență de pătrate deghizată: $x^2-2mx+(m^2-4)=(x-m)^2-4=(x-m-2)(x-m+2)$. De aici, rădăcinile sunt $m-2$ și $m+2$ — pune ambele în $(-3,3)$. **Răspuns corect:** D. $(-1,1)$ **Rezolvare** Scriem $x^2-2mx+m^2-4=(x-m)^2-4=(x-(m-2))(x-(m+2))$, deci rădăcinile sunt $x_1=m-2$ și $x_2=m+2$, întotdeauna reale și distincte (diferența lor este constant $4$). Condiția ca ambele să fie în $(-3,3)$ dă sistemul: $m-2>-3 \Rightarrow m>-1$, și $m+2<3 \Rightarrow m<1$. Intersectând, $m\in(-1,1)$. Verificare: pentru $m=0$ (în interval), rădăcinile sunt $-2$ și $2$, ambele în $(-3,3)$; pentru $m=1$ (exclus, capăt), rădăcinile devin $-1$ și $3$ — $3\notin(-3,3)$, corect exclus. ✓ --- ## Funcția de Gradul al II-lea #12 — Legendar · 5 puncte Numerele reale $a, b, c$ verifică simultan $$a+b+c=6, \qquad a^2+b^2+c^2=14, \qquad a^3+b^3+c^3=36.$$ Valoarea produsului $abc$ este: A. $11$ B. $3$ C. $6$ D. $36$ **Indiciu:** Nu ai nevoie de valorile lui $a,b,c$: din sumele date poți obține mai întâi $ab+bc+ca$, iar apoi există o identitate clasică ce leagă $a^3+b^3+c^3$ de $abc$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** Notăm $e_1=a+b+c=6$ și $e_2=ab+bc+ca$. **Pasul 1 — aflăm $e_2$** din pătratul sumei: $$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \implies 36 = 14 + 2e_2 \implies e_2 = 11.$$ **Pasul 2 — aflăm $abc$** din identitatea sumei de cuburi: $$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)\big(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\big)$$ $$36 - 3abc = 6\cdot(14-11) = 18 \implies 3abc = 18 \implies abc = 6.$$ Verificare: $a,b,c$ sunt rădăcinile lui $t^3-6t^2+11t-6=(t-1)(t-2)(t-3)$, deci $\{a,b,c\}=\{1,2,3\}$; într-adevăr $1+2+3=6$, $1+4+9=14$, $1+8+27=36$ și $1\cdot2\cdot3=6$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.