[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functii-trigonometrice-inverse

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functii-trigonometrice-inverse**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/functii-trigonometrice-inverse** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Funcții trigonometrice inverse — clasa a 9-a

Clasa a 9-a · 33 exerciții cu funcții trigonometrice inverse în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Funcții trigonometrice inverse #1 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $\arcsin\dfrac{1}{2}$ este:

A. $\dfrac{\pi}{4}$
B. $\dfrac{\pi}{6}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{\pi}{2}$

**Indiciu:** $\arcsin$ returnează unghiul unic din $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ al cărui sinus este egal cu valoarea dată.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{\pi}{6}$

**Rezolvare**

$\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, și $\dfrac{\pi}{6}$ se află în intervalul principal, deci $\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #2 — Începător · 5 puncte

Valoarea lui $\arccos 0$ este:

A. $0$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{2}$
D. $\pi$

**Indiciu:** $\arccos$ returnează unghiul unic din $[0, \pi]$ al cărui cosinus este egal cu valoarea dată.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\pi}{2}$

**Rezolvare**

$\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$, deci $\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #3 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\cos\!\left(\arcsin\dfrac{3}{5}\right)$ este:

A. $\dfrac{3}{5}$
B. $-\dfrac{4}{5}$
C. $\dfrac{4}{5}$
D. $\dfrac{5}{3}$

**Indiciu:** Fie $\theta = \arcsin\dfrac{3}{5}$. Atunci $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ și $\theta \in \!\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, deci $\cos\theta \ge 0$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{4}{5}$

**Rezolvare**

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, și $\cos\theta \ge 0$, deci $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #4 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\arctg\sqrt{3}$ este:

A. $\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{\pi}{2}$

**Indiciu:** $\tg\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\pi}{3}$

**Rezolvare**

$\tg\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, și $\dfrac{\pi}{3} \in \!\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$, deci $\arctg\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #5 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\arccos\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}\right)$ este:

A. $-\dfrac{2\pi}{3}$
B. $\dfrac{\pi}{3}$
C. $\dfrac{2\pi}{3}$
D. $\dfrac{4\pi}{3}$

**Indiciu:** $\dfrac{2\pi}{3}$ se află deja în $[0, \pi]$, deci compoziția $\arccos(\cos x)$ returnează $x$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{2\pi}{3}$

**Rezolvare**

$\dfrac{2\pi}{3} \in [0, \pi]$, deci $\arccos\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{2\pi}{3}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #6 — Mediu · 5 puncte

Valoarea lui $\arcsin\!\left(\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)$ este:

A. $-\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{6}$
C. $\dfrac{5\pi}{6}$
D. $\dfrac{7\pi}{6}$

**Indiciu:** $\dfrac{7\pi}{6}$ este **în afara** intervalului $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$. Calculați mai întâi $\sin\dfrac{7\pi}{6}$, apoi luați arcsinusul acelei valori.

**Răspuns corect:** A. $-\dfrac{\pi}{6}$

**Rezolvare**

$\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$. Atunci $\arcsin\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6}$ (în intervalul principal).

---

## Funcții trigonometrice inverse #7 — Avansat · 5 puncte

Valoarea lui $\tg\!\left(\arccos\dfrac{2}{3}\right)$ este:

A. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\sqrt{5}$

**Indiciu:** Fie $\theta = \arccos\dfrac{2}{3}$. Atunci $\cos\theta = \dfrac{2}{3}$, $\theta \in [0, \pi]$ deci $\sin\theta \ge 0$. Calculați $\sin\theta$, apoi $\tg\theta$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

**Rezolvare**

$\sin^2\theta = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$, deci $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$. Astfel $\tg\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #8 — Avansat · 5 puncte

Pentru orice $x \in [-1, 1]$, valoarea lui $\arcsin x + \arccos x$ este:

A. $0$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{2}$
D. $\pi$

**Indiciu:** Testați $x = 0$: $\arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \dfrac{\pi}{2}$.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\pi}{2}$

**Rezolvare**

Pentru orice $x \in [-1, 1]$, $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ (identitate standard, deoarece $\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x$).

---

## Funcții trigonometrice inverse #9 — Avansat · 5 puncte

Valoarea expresiei $\arccos\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}\right)$ este:

A. $\dfrac{5\pi}{3}$
B. $\dfrac{2\pi}{3}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $-\dfrac{\pi}{3}$

**Indiciu:** $\dfrac{5\pi}{3}\notin[0,\pi]$, deci nu poți răspunde direct cu $\dfrac{5\pi}{3}$. Calculează întâi $\cos\dfrac{5\pi}{3}$, apoi caută unghiul din $[0,\pi]$ cu acest cosinus.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{\pi}{3}$

**Rezolvare**

$\dfrac{5\pi}{3}\notin[0,\pi]$ — varianta $a$ e exact capcana „simplificării directe".

Calculăm: $\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}$, deci
$$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac12.$$

Cum $\dfrac{\pi}{3}\in[0,\pi]$:
$$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right) = \arccos\left(\frac12\right) = \frac{\pi}{3}.$$

Verificare numerică: $\cos(5\pi/3)\approx0{,}5$, $\arccos(0{,}5)\approx1{,}0472=\pi/3$. ✓

---

## Funcții trigonometrice inverse #10 — Expert · 5 puncte

Soluția reală a ecuației $\arctan(x) + \arctan(2x) = \dfrac{3\pi}{4}$ este $x=$

A. $\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}$
B. $\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$
C. $\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$
D. $-\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$

**Indiciu:** Aplică tangenta ambelor părți: $\tan\left(\dfrac{3\pi}4\right)=-1$, deci $\dfrac{x+2x}{1-2x^2}=-1$, o ecuație de gradul $2$. Rezolvă și verifică ambele rădăcini în ecuația ORIGINALĂ — una din ele corespunde de fapt sumei $-\dfrac\pi4$, nu $\dfrac{3\pi}4$ (tangenta nu distinge cele două, fiindcă $\tan$ are perioada $\pi$).

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$

**Rezolvare**

Notăm ecuația și aplicăm tangenta ambelor părți, folosind $\tan\dfrac{3\pi}{4}=-1$:
$$\tan\big(\arctan x+\arctan2x\big) = \frac{x+2x}{1-2x^2} = \frac{3x}{1-2x^2} = -1.$$

$$3x = -(1-2x^2) \implies 2x^2-3x-1=0 \implies x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}.$$

**Verificare obligatorie a ambelor rădăcini** (tangenta nu distinge $\dfrac{3\pi}4$ de $-\dfrac\pi4$, fiind aceeași valoare modulo $\pi$):

- $x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\approx1{,}781$: $\arctan(1{,}781)\approx60{,}64^\circ$, $\arctan(3{,}562)\approx74{,}31^\circ$, suma $\approx134{,}95^\circ\approx\dfrac{3\pi}4=135^\circ$. ✓ **Corectă.**
- $x=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}\approx-0{,}281$: $\arctan(-0{,}281)\approx-15{,}68^\circ$, $\arctan(-0{,}562)\approx-29{,}33^\circ$, suma $\approx-45^\circ=-\dfrac\pi4$ — **NU** este $\dfrac{3\pi}4$, deci această rădăcină e extraneă (introdusă de faptul că $\tan$ nu „vede" diferența de $\pi$).

Soluția ecuației este $x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$.

---

## Funcții trigonometrice inverse #11 — Expert · 5 puncte

Valoarea sumei $\arctan\dfrac{1}{2}+\arctan\dfrac{1}{3}$ este:

A. $\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{5\pi}{12}$

**Indiciu:** Notează $a=\arctan\dfrac12$, $b=\arctan\dfrac13$ și calculează $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$. Ambele unghiuri sunt în $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$, deci suma e în $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$.

**Răspuns corect:** B. $\dfrac{\pi}{4}$

**Rezolvare**

Fie $a=\arctan\dfrac12$ și $b=\arctan\dfrac13$, deci $\tan a=\dfrac12$, $\tan b=\dfrac13$, ambele în $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$.

$$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\dfrac12+\dfrac13}{1-\dfrac12\cdot\dfrac13}=\frac{\dfrac56}{\dfrac56}=1$$

Cum $a+b\in(0,\pi/2)$ (sumă de două unghiuri din $(0,\pi/4)$) și $\tan(a+b)=1$, rezultă $a+b=\dfrac{\pi}{4}$.

**Verificare numerică:** $\arctan 0{,}5+\arctan 0{,}3\overline{3}\approx 0{,}4636+0{,}3217=0{,}7854\approx \dfrac{\pi}{4}$. ✓

---

## Funcții trigonometrice inverse #12 — Legendar · 5 puncte

Valoarea sumei $\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3)$ este:

A. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $\dfrac{5\pi}{4}$
C. $\pi$
D. $\dfrac{3\pi}{4}$

**Indiciu:** Verifică identitatea $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C$ pentru $A=\arctan1$, $B=\arctan2$, $C=\arctan3$ — ea este echivalentă (via formula tangentei sumei de trei unghiuri) cu $A+B+C\equiv0\pmod\pi$. Apoi încadrează suma folosind faptul că fiecare termen e în $\left(0,\dfrac\pi2\right)$.

**Răspuns corect:** C. $\pi$

**Rezolvare**

**Pasul cheie de recunoaștere:** cu $A=\arctan1=\dfrac\pi4$, $B=\arctan2$, $C=\arctan3$, verificăm identitatea din formula tangentei sumei de trei unghiuri: expresia $\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C$ se anulează exact când $A+B+C\equiv0\pmod\pi$. Aici:
$$\tan A+\tan B+\tan C = 1+2+3=6, \qquad \tan A\cdot\tan B\cdot\tan C = 1\cdot2\cdot3=6.$$

Cele două sunt **egale**, deci $A+B+C\equiv0\pmod\pi$.

**Încadrarea sumei:** fiecare dintre $A,B,C\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$ (arctangente de numere pozitive), deci $A+B+C\in(0,\tfrac{3\pi}2)$. Singurul multiplu de $\pi$ din acest interval este $\pi$ însuși (nu $0$, fiind sumă de termeni strict pozitivi). Deci
$$\arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi.$$

Verificare numerică: $\arctan1\approx45^\circ$, $\arctan2\approx63{,}43^\circ$, $\arctan3\approx71{,}57^\circ$; suma $\approx180{,}00^\circ=\pi$. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.