[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/logica-si-inductie > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/logica-si-inductie** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/logica-si-inductie** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Logică și inducție — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 48 exerciții cu logică și inducție în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Logică și inducție #1 — Începător · 5 puncte Fie $p$: „orice număr prim este impar" și $q$: „$3 + 4 = 7$". Valoarea de adevăr a lui $p \wedge q$ este: A. Adevărat B. Fals C. Nu se poate determina D. Atât adevărat, cât și fals **Indiciu:** Reamintim că $2$ este singurul număr prim par. **Răspuns corect:** B. Fals **Rezolvare** $p$ este **falsă** (deoarece $2$ este prim și par), $q$ este **adevărată**. Din tabelul de adevăr al conjuncției, $\text{fals} \wedge \text{adevărat} = \text{fals}$. --- ## Logică și inducție #2 — Începător · 5 puncte Fie $A = \{1, 2, 3, 5\}$ și $B = \{2, 3, 5, 7\}$. Atunci $A \cap B$ este egal cu: A. $\{1, 2, 3, 5, 7\}$ B. $\{2, 3, 5\}$ C. $\{1, 7\}$ D. $\emptyset$ **Răspuns corect:** B. $\{2, 3, 5\}$ **Rezolvare** $A \cap B$ conține elementele comune ambelor mulțimi: $\{2, 3, 5\}$. --- ## Logică și inducție #3 — Mediu · 5 puncte Negația propoziției „pentru orice număr real $x$, $x^2 + 1 > 0$" este: A. Pentru orice $x$ real, $x^2 + 1 \le 0$ B. Există un $x$ real astfel încât $x^2 + 1 \le 0$ C. Există un $x$ real astfel încât $x^2 + 1 > 0$ D. Pentru orice $x$ real, $x^2 + 1 < 0$ **Indiciu:** $\neg\,(\forall x\,P(x)) \equiv \exists x\,\neg P(x)$. **Răspuns corect:** B. Există un $x$ real astfel încât $x^2 + 1 \le 0$ **Rezolvare** Negația lui $\forall$ este $\exists$; negația lui $>$ este $\le$. Deci negația este $\exists x \in \mathbb{R}:\ x^2 + 1 \le 0$. (Această propoziție este ea însăși falsă, dar întrebarea cerea negația, nu valoarea ei de adevăr.) --- ## Logică și inducție #4 — Mediu · 5 puncte Care dintre următoarele afirmații este echivalentă logic cu „dacă $n^2$ este par, atunci $n$ este par"? A. Dacă $n$ este par, atunci $n^2$ este par B. Dacă $n$ este impar, atunci $n^2$ este impar C. Dacă $n^2$ este impar, atunci $n$ este par D. $n$ este par dacă și numai dacă $n^2$ este impar **Indiciu:** $P \Rightarrow Q$ este echivalentă cu contrapoziția sa $\neg Q \Rightarrow \neg P$. **Răspuns corect:** B. Dacă $n$ este impar, atunci $n^2$ este impar **Rezolvare** Contrapoziția lui „$n^2$ par $\Rightarrow$ $n$ par" este „$n$ impar $\Rightarrow$ $n^2$ impar". O propoziție și contrapoziția sa au întotdeauna aceeași valoare de adevăr. --- ## Logică și inducție #5 — Mediu · 5 puncte Presupunem că $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$ (ipoteza de inducție). Pentru a finaliza pasul inductiv trebuie să arătăm că $1 + 2 + \cdots + (k+1)$ este egal cu: A. $\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ B. $\dfrac{k(k+1)}{2} + 1$ C. $\dfrac{(k+1)^2}{2}$ D. $(k+1)(k+2)$ **Indiciu:** Înlocuiți $n$ cu $k+1$ în $\dfrac{n(n+1)}{2}$. **Răspuns corect:** A. $\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ **Rezolvare** Formula țintă pentru $n = k+1$ este $\dfrac{(k+1)\big((k+1)+1\big)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$. (Și într-adevăr $\dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$, finalizând pasul.) --- ## Logică și inducție #6 — Mediu · 5 puncte Formula $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$ este adevărată pentru orice $n \ge 1$. Calculați $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3$. A. $100$ B. $144$ C. $36$ D. $1024$ **Indiciu:** Aplicați formula direct cu $n = 4$. **Răspuns corect:** A. $100$ **Rezolvare** $\left[\dfrac{4 \cdot 5}{2}\right]^2 = 10^2 = 100$. (Verificare directă: $1 + 8 + 27 + 64 = 100$.) --- ## Logică și inducție #7 — Avansat · 5 puncte Prin inducție se poate demonstra că $n^3 - n$ este divizibil cu $6$ pentru orice $n \in \mathbb{N}$. Calculați $\dfrac{10^3 - 10}{6}$. A. $165$ B. $166$ C. $100$ D. $200$ **Indiciu:** $n^3 - n = (n-1)\,n\,(n+1)$ — produsul a trei numere întregi consecutive. **Răspuns corect:** A. $165$ **Rezolvare** $10^3 - 10 = 990$, și $990 / 6 = 165$. Demonstrația prin inducție factorizează $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$, care este produsul a trei întregi consecutivi și este prin urmare divizibil atât cu $2$, cât și cu $3$, deci cu $6$. --- ## Logică și inducție #8 — Avansat · 5 puncte Demonstrați prin inducție că $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ pentru orice $n \ge 1$. Folosind aceasta, calculați $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5$. A. $30$ B. $40$ C. $50$ D. $60$ **Indiciu:** Aplicați formula pentru $n = 4$. **Răspuns corect:** B. $40$ **Rezolvare** $\dfrac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3} = \dfrac{120}{3} = 40$. (Direct: $2 + 6 + 12 + 20 = 40$.) --- ## Logică și inducție #9 — Avansat · 5 puncte Se demonstrează prin inducție matematică formula $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$. Folosind-o, suma $1^2+2^2+\cdots+15^2$ este egală cu: A. $1225$ B. $1240$ C. $1200$ D. $1360$ **Indiciu:** Aplică formula pentru $n=15$. **Răspuns corect:** B. $1240$ **Rezolvare** $$\frac{15\cdot16\cdot31}6=\frac{7440}6=1240.$$ Verificare: calcul direct al sumei pătratelor $1^2+2^2+\cdots+15^2$ dă tot $1240$. ✓ --- ## Logică și inducție #10 — Expert · 5 puncte Se demonstrează prin inducție matematică formula $1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}3$. Cel mai mic număr natural $n$ pentru care suma depășește $1000$ este: A. $13$ B. $15$ C. $10$ D. $14$ **Indiciu:** Suma se comportă ca $n^3/3$; estimează $n$ rezolvând $n^3/3\approx1000$, apoi verifică valorile vecine cu formula. **Răspuns corect:** D. $14$ **Rezolvare** Pentru $n=13$: $$\frac{13\cdot14\cdot15}3=\frac{2730}3=910<1000.$$ Pentru $n=14$: $$\frac{14\cdot15\cdot16}3=\frac{3360}3=1120>1000.$$ Deci cel mai mic $n$ pentru care suma depășește $1000$ este $n=14$. Verificare: $910<1000<1120$, iar la $n=13$ suma încă nu ajunge la $1000$. ✓ --- ## Logică și inducție #11 — Expert · 5 puncte Pentru perechile $(a,b)$ cu $a,b\in\{1,2,3,4,5\}$ și $a