[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/multimi-de-numere > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/multimi-de-numere** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/multimi-de-numere** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Mulțimi de Numere Reale — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 33 exerciții cu mulțimi de numere reale în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Mulțimi de Numere Reale #1 — Începător · 5 puncte Fie $A = \{1, 2, 3, 4\}$ și $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Atunci $A \cup B$ este egal cu: A. $\{3, 4\}$ B. $\{1, 2, 5, 6\}$ C. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ D. $\{1, 2, 3, 4\}$ **Răspuns corect:** C. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ **Rezolvare** $A \cup B$ este mulțimea elementelor din $A$, din $B$, sau din ambele: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. --- ## Mulțimi de Numere Reale #2 — Începător · 5 puncte Fie $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ și $B = \{2, 4, 6\}$. Atunci $A \setminus B$ este egal cu: A. $\{2, 4\}$ B. $\{1, 3, 5\}$ C. $\{6\}$ D. $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ **Indiciu:** $A \setminus B$ conține elementele din $A$ care NU sunt în $B$. **Răspuns corect:** B. $\{1, 3, 5\}$ **Rezolvare** Eliminând $2$ și $4$ din $A$ rămâne $\{1, 3, 5\}$. --- ## Mulțimi de Numere Reale #3 — Mediu · 5 puncte Numărul de submulțimi ale mulțimii $A = \{a, b, c, d\}$ este: A. $4$ B. $8$ C. $16$ D. $24$ **Indiciu:** O mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi. **Răspuns corect:** C. $16$ **Rezolvare** $|A| = 4$, deci $A$ are $2^4 = 16$ submulțimi (inclusiv $\emptyset$ și $A$). --- ## Mulțimi de Numere Reale #4 — Mediu · 5 puncte Într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ joacă fotbal, $12$ joacă baschet și $5$ joacă ambele. Câți nu joacă niciunul? A. $0$ B. $5$ C. $10$ D. $15$ **Indiciu:** $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. **Răspuns corect:** B. $5$ **Rezolvare** $|F \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$ joacă cel puțin unul. Deci $30 - 25 = 5$ nu joacă niciunul. --- ## Mulțimi de Numere Reale #5 — Mediu · 5 puncte Pentru $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{x, y\}$, cardinalul lui $A \times B$ este: A. $3$ B. $5$ C. $6$ D. $9$ **Indiciu:** $|A \times B| = |A| \cdot |B|$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** $|A \times B| = 3 \cdot 2 = 6$. Produsul este $\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)\}$. --- ## Mulțimi de Numere Reale #6 — Mediu · 5 puncte Fie $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 3, 4\}$, cu mulțimea universală $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Calculați $\overline{A \cap B}$. A. $\{2, 3\}$ B. $\{1, 4, 5\}$ C. $\{1, 2, 4\}$ D. $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ **Indiciu:** Prin legile lui De Morgan: $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$. Sau calculați mai întâi $A \cap B$, apoi complementul. **Răspuns corect:** B. $\{1, 4, 5\}$ **Rezolvare** $A \cap B = \{2, 3\}$. Complementul față de $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ este $\{1, 4, 5\}$. --- ## Mulțimi de Numere Reale #7 — Avansat · 5 puncte Numărul de soluții întregi ale inecuației $(x - 3)(x + 3) \le 0$ este: A. $5$ B. $6$ C. $7$ D. $8$ **Indiciu:** Produsul este nenegativ între rădăcini, adică pe $[-3, 3]$. **Răspuns corect:** C. $7$ **Rezolvare** $(x - 3)(x + 3) \le 0 \Leftrightarrow x \in [-3, 3]$. Numerele întregi din acest interval sunt $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ — șapte valori. --- ## Mulțimi de Numere Reale #8 — Avansat · 5 puncte Fie $A$ mulțimea divizorilor pozitivi ai lui $12$. Atunci $|A|$ este egal cu: A. $4$ B. $5$ C. $6$ D. $12$ **Indiciu:** Enumerați toți întreg pozitivii care divide $12$. **Răspuns corect:** C. $6$ **Rezolvare** Divizorii pozitivi ai lui $12$ sunt $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, deci $|A| = 6$. --- ## Mulțimi de Numere Reale #9 — Avansat · 5 puncte Numărul elementelor mulțimii $A=\{n\in\mathbb{N}^{*}\;:\;n\le100,\ 6\mid n \text{ sau } 8\mid n\}$ este: A. $28$ B. $24$ C. $16$ D. $12$ **Indiciu:** Numără separat multiplii lui $6$ și multiplii lui $8$ până la $100$, apoi scade multiplii comuni (multiplii de $\operatorname{cmmmc}(6,8)=24$), ca să nu-i numeri de două ori. **Răspuns corect:** B. $24$ **Rezolvare** Multiplii lui $6$ până la $100$: $\left\lfloor\dfrac{100}{6}\right\rfloor=16$. Multiplii lui $8$ până la $100$: $\left\lfloor\dfrac{100}{8}\right\rfloor=12$. Multiplii comuni sunt multiplii lui $\operatorname{cmmmc}(6,8)=24$: $\left\lfloor\dfrac{100}{24}\right\rfloor=4$ (îi numărăm de două ori mai sus, deci trebuie scăzuți o dată). Prin principiul includerii-excluderii: $$|A| = 16+12-4 = 24.$$ Verificare: fără a scădea multiplii comuni am obține greșit $16+12=28$ (opțiune-capcană, dublă numărare a lui $24,48,72,96$). ✓ --- ## Mulțimi de Numere Reale #10 — Expert · 5 puncte Fie $a\in\mathbb{Q}^{*}$ un număr fixat și $b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ arbitrar. Care dintre următoarele numere este **întotdeauna irațional**, indiferent de alegerea lui $b$? A. $b-b$ B. $\dfrac{b}{b}$ C. $a\cdot b$ D. $b^2$ **Indiciu:** Elimină mai întâi opțiunile care dau mereu un rezultat rațional evident. Pentru cea rămasă suspectă, caută un contraexemplu concret (o valoare de $b$ irațională pentru care rezultatul totuși e rațional). **Răspuns corect:** C. $a\cdot b$ **Rezolvare** Analizăm fiecare opțiune: - $b-b=0$ — **întotdeauna rațional** (indiferent de $b$). - $\dfrac{b}{b}=1$ (valid, $b\neq0$ fiind irațional) — **întotdeauna rațional**. - $b^2$ — **nu e întotdeauna irațional**: pentru $b=\sqrt2$ (irațional), $b^2=2$ e rațional! Acesta e contraexemplul care elimină opțiunea. - $a\cdot b$ — **întotdeauna irațional**. Demonstrație prin reducere la absurd: dacă $ab=r\in\mathbb{Q}$, atunci, cum $a\neq0$ e rațional, $b=\dfrac{r}{a}$ ar fi un raport de raționale, deci rațional — contradicție cu $b\notin\mathbb{Q}$. Singura opțiune garantat irațională pentru **orice** alegere a lui $b$ irațional este $a\cdot b$. Verificare: cu $a=\dfrac37$, $b=\sqrt2$: $ab=\dfrac{3\sqrt2}{7}$, irațional ✓. Cu $b=1+\sqrt3$: $ab=\dfrac37+\dfrac{3\sqrt3}{7}$, tot irațional ✓. În schimb $b^2$ pentru $b=\sqrt2$ dă $2\in\mathbb{Q}$, confirmând că acea opțiune eșuează. ✓ --- ## Mulțimi de Numere Reale #11 — Expert · 5 puncte Fie $U=\{1,2,\dots,100\}$, $A$ = multiplii lui $3$ din $U$, $B$ = multiplii lui $4$ din $U$. Câte elemente din $U$ NU sunt divizibile nici cu $3$, nici cu $4$? A. $42$ B. $50$ C. $58$ D. $67$ **Indiciu:** Prin legile lui De Morgan, mulțimea cerută este $\complement A\cap \complement B=\complement(A\cup B)$. Calculează întâi $|A\cup B|$ prin incluziune-excludere. **Răspuns corect:** B. $50$ **Rezolvare** $|A|=\left[\dfrac{100}{3}\right]=33$, $|B|=\left[\dfrac{100}{4}\right]=25$, $|A\cap B|=\left[\dfrac{100}{12}\right]=8$ (multiplii lui $12$). $$|A\cup B|=33+25-8=50.$$ Prin De Morgan, numărul elementelor care nu sunt nici în $A$, nici în $B$ este $$|\complement(A\cup B)|=|U|-|A\cup B|=100-50=50.$$ Verificare (enumerare directă): numărul de $n\in\{1,\dots,100\}$ cu $n\bmod 3\ne0$ și $n\bmod4\ne0$ este $50$. ✓ --- ## Mulțimi de Numere Reale #12 — Legendar · 5 puncte Valoarea sumei $$S=\frac{1}{\sqrt1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$ este: A. $9$ B. $10$ C. $99$ D. $8$ **Indiciu:** Fiecare termen $\dfrac{1}{\sqrt k+\sqrt{k+1}}$ se raționalizează amplificând cu $\sqrt{k+1}-\sqrt k$: numitorul devine $(k+1)-k=1$. Ce se întâmplă cu suma după raționalizare? **Răspuns corect:** A. $9$ **Rezolvare** **Pasul cheie de recunoaștere:** raționalizăm fiecare termen în parte: $$\frac{1}{\sqrt k+\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(\sqrt{k+1}+\sqrt k)(\sqrt{k+1}-\sqrt k)} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt k.$$ Suma devine telescopică: $$S = (\sqrt2-\sqrt1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}).$$ Toți termenii intermediari se anulează în lanț, rămânând doar primul și ultimul: $$S = \sqrt{100}-\sqrt1 = 10-1 = 9.$$ **Observația surprinzătoare:** deși fiecare din cei $99$ de termeni ai sumei inițiale este un număr irațional (o fracție cu radicali la numitor), suma lor totală este exact numărul **natural** $9$ — anularea în lanț elimină complet iraționalitatea. Verificare numerică (calcul direct, primii și ultimii termeni): $\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}\approx0{,}4142$, $\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\approx0{,}0501$; suma completă a celor $99$ de termeni calculată numeric dă $9{,}000000$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.