[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/progresii-aritmetice > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/progresii-aritmetice** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/progresii-aritmetice** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Progresii aritmetice — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 70 exerciții cu progresii aritmetice în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Progresii aritmetice #1 — Începător · 5 puncte În progresia aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$, $a_2 = 7$ și $a_5 = 16$. Determinați $a_1$. A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $7$ **Indiciu:** Rația este $r = \dfrac{a_5 - a_2}{5 - 2}$. **Răspuns corect:** B. $4$ **Rezolvare** $r = \dfrac{16 - 7}{3} = 3$, deci $a_1 = a_2 - r = 7 - 3 = 4$. --- ## Progresii aritmetice #2 — Începător · 5 puncte Numerele $5, 8, 11, 14, \ldots$ formează o progresie aritmetică. Rația $r$ este egală cu: A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $5$ **Răspuns corect:** B. $3$ **Rezolvare** $r = a_2 - a_1 = 8 - 5 = 3$. --- ## Progresii aritmetice #3 — Mediu · 5 puncte Calculați suma primilor $20$ termeni ai progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$ cu $a_1 = 2$ și $r = 3$. A. $560$ B. $590$ C. $610$ D. $620$ **Indiciu:** $S_n = \dfrac{n\,(2a_1 + (n-1)r)}{2}$. **Răspuns corect:** C. $610$ **Rezolvare** $S_{20} = \dfrac{20\,(2 \cdot 2 + 19 \cdot 3)}{2} = \dfrac{20 \cdot 61}{2} = 10 \cdot 61 = 610$. --- ## Progresii aritmetice #4 — Mediu · 5 puncte Într-o progresie aritmetică cu $a_1 = 3$ și $r = 4$, termenul $a_n = 47$. Determinați $n$. A. $10$ B. $11$ C. $12$ D. $13$ **Indiciu:** $a_n = a_1 + (n-1)\,r$. **Răspuns corect:** C. $12$ **Rezolvare** $47 = 3 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow (n-1) \cdot 4 = 44 \Rightarrow n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12$. --- ## Progresii aritmetice #5 — Mediu · 5 puncte Numerele $x - 2$, $5$, $x + 4$ sunt în progresie aritmetică (în această ordine). Determinați $x$. A. $1$ B. $2$ C. $4$ D. $7$ **Indiciu:** Într-o PA, termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi: $a_k = \dfrac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$. **Răspuns corect:** C. $4$ **Rezolvare** $5 = \dfrac{(x - 2) + (x + 4)}{2} \Rightarrow 10 = 2x + 2 \Rightarrow x = 4$. --- ## Progresii aritmetice #6 — Mediu · 5 puncte Pentru progresia aritmetică cu $a_1 = 1$ și $r = 2$, calculați $a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9$. A. $35$ B. $45$ C. $65$ D. $75$ **Indiciu:** Găsiți mai întâi explicit $a_5, \ldots, a_9$: $a_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$. **Răspuns corect:** C. $65$ **Rezolvare** $a_n = 2n - 1$, deci $a_5 + \cdots + a_9 = 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65$. Echivalent, aceasta este suma a $5$ numere impare consecutive începând de la $9$. --- ## Progresii aritmetice #7 — Avansat · 5 puncte Trei numere în progresie aritmetică au suma $15$, iar suma pătratelor lor este $83$. Cel mai mare dintre ele este: A. $5$ B. $6$ C. $7$ D. $8$ **Indiciu:** Scrieți cele trei numere ca $5 - r$, $5$, $5 + r$ (astfel suma este automat $15$). **Răspuns corect:** C. $7$ **Rezolvare** Notăm termenii $5 - r,\, 5,\, 5 + r$. Atunci $(5-r)^2 + 25 + (5+r)^2 = 50 + 2r^2 + 25 = 83$, deci $2r^2 = 8 \Rightarrow r = 2$. Termenul cel mai mare este $5 + 2 = 7$. --- ## Progresii aritmetice #8 — Avansat · 5 puncte Pentru o progresie aritmetică cu $a_1 = 5$ și $r = 3$, găsiți cel mai mic $n$ astfel încât $S_n \ge 500$. A. $16$ B. $17$ C. $18$ D. $19$ **Indiciu:** $S_n = \dfrac{n\,(2a_1 + (n-1)r)}{2} = \dfrac{n(3n + 7)}{2}$. Testați valori întregi în apropierea pragului. **Răspuns corect:** C. $18$ **Rezolvare** $S_n = \dfrac{n(3n + 7)}{2}$. Calculăm: $S_{17} = \dfrac{17 \cdot 58}{2} = 493 < 500$ și $S_{18} = \dfrac{18 \cdot 61}{2} = 549 \ge 500$. Deci cel mai mic $n$ este $18$. --- ## Progresii aritmetice #9 — Avansat · 5 puncte Într-o progresie aritmetică, $a_2+a_6=24$. Atunci $a_4$ este: A. $12$ B. $6$ C. $24$ D. $48$ **Indiciu:** $a_2$ și $a_6$ sunt simetrici față de $a_4$. **Răspuns corect:** A. $12$ **Rezolvare** $$a_2+a_6=(a_1+r)+(a_1+5r)=2a_1+6r=2(a_1+3r)=2a_4.$$ Deci $$2a_4=24\ \Rightarrow\ a_4=12.$$ ✓ Proprietate generală: dacă $p+q=2k$, atunci $a_p+a_q=2a_k$. --- ## Progresii aritmetice #10 — Expert · 5 puncte Se consideră progresia aritmetică $a_n=4n+1$. Câți dintre termenii $a_1,a_2,\dots,a_{100}$ sunt divizibili cu $3$? A. $34$ B. $50$ C. $25$ D. $33$ **Indiciu:** $4n+1\equiv n+1\pmod 3$ — deci caută resturile lui $n$ modulo $3$. **Răspuns corect:** D. $33$ **Rezolvare** $$4n+1\equiv n+1\pmod 3,$$ deci $3\mid a_n$ exact când $n\equiv 2\pmod 3$. În $\{1,2,\dots,100\}$ numerele $\equiv 2\pmod 3$ sunt $2,\,5,\,8,\,\dots,\,98$: $$n=\frac{98-2}{3}+1=33.$$ ✓ Verificare rapidă: $a_2=9$ ✓, $a_5=21$ ✓, $a_{98}=393=3\cdot 131$ ✓ --- ## Progresii aritmetice #11 — Expert · 5 puncte Într-o progresie aritmetică, $S_{10}=100$ și $S_{20}=400$. Rația progresiei este: A. $1$ B. $4$ C. $2$ D. $3$ **Indiciu:** Scrie ambele sume cu formula $S_n=\dfrac n2\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr)$ și scade relațiile obținute. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** $$S_{10}=5(2a_1+9r)=100\ \Rightarrow\ 2a_1+9r=20,$$ $$S_{20}=10(2a_1+19r)=400\ \Rightarrow\ 2a_1+19r=40.$$ Scăzând: $10r=20$, deci $r=2$ (și $a_1=1$). ✓ Verificare: $S_{10}=5(2+18)=100$ ✓, $S_{20}=10(2+38)=400$ ✓ --- ## Progresii aritmetice #12 — Legendar · 5 puncte Se consideră progresiile aritmetice $a_n=4n-1$ ($n\ge1$) și $b_m=7m-4$ ($m\ge1$). Numărul termenilor comuni celor două progresii, mai mici decât $200$, este: A. $7$ B. $29$ C. $8$ D. $6$ **Indiciu:** Un termen comun verifică $4n-1=7m-4$. Rezolvă această ecuație în numere întregi pentru a găsi structura (progresia) termenilor comuni. **Răspuns corect:** C. $8$ **Rezolvare** Punem $4n-1=7m-4 \Rightarrow 4n=7m-3 \Rightarrow n=\dfrac{7m-3}{4}$, care e întreg doar dacă $7m\equiv3\pmod4$, adică $3m\equiv3\pmod4$, deci $m\equiv1\pmod4$. Pentru $m=1,5,9,13,\dots$ obținem $b_m=3,31,59,87,115,143,171,199,227,\dots$ — o progresie aritmetică cu primul termen $3$ și rația $28=\mathrm{cmmmc}(4,7)$. Termenii comuni mai mici decât $200$ sunt $3,31,59,87,115,143,171,199$, deci $8$ termeni ($227$ deja depășește $200$). ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.