[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/progresii-geometrice > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/progresii-geometrice** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/progresii-geometrice** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Progresii geometrice — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 56 exerciții cu progresii geometrice în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Progresii geometrice #1 — Începător · 5 puncte În progresia geometrică $(b_n)_{n \ge 1}$, $b_1 = 2$ și $q = 3$. Determinați $b_5$. A. $54$ B. $81$ C. $162$ D. $486$ **Indiciu:** $b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$. **Răspuns corect:** C. $162$ **Rezolvare** $b_5 = b_1 \cdot q^{4} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$. --- ## Progresii geometrice #2 — Începător · 5 puncte Numerele $4, 12, 36, 108, \ldots$ formează o progresie geometrică. Rația $q$ este egală cu: A. $2$ B. $\dfrac{1}{3}$ C. $3$ D. $4$ **Răspuns corect:** C. $3$ **Rezolvare** $q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{12}{4} = 3$. --- ## Progresii geometrice #3 — Mediu · 5 puncte Calculați suma primilor $10$ termeni ai progresiei geometrice $1, 2, 4, 8, \ldots$. A. $511$ B. $512$ C. $1023$ D. $1024$ **Indiciu:** $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ când $q \ne 1$. **Răspuns corect:** C. $1023$ **Rezolvare** $S_{10} = 1 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023$. --- ## Progresii geometrice #4 — Mediu · 5 puncte Numerele $3$, $x$, $27$ sunt în progresie geometrică (cu rație pozitivă). Determinați $x$. A. $5$ B. $9$ C. $15$ D. $\sqrt{30}$ **Indiciu:** Într-o PG, termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor săi: $b_k^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}$. **Răspuns corect:** B. $9$ **Rezolvare** $x^2 = 3 \cdot 27 = 81 \Rightarrow x = 9$ (rație pozitivă). --- ## Progresii geometrice #5 — Mediu · 5 puncte Într-o progresie geometrică cu $b_1 = 5$ și $q = 2$, termenul $b_n = 320$. Determinați $n$. A. $5$ B. $6$ C. $7$ D. $8$ **Indiciu:** $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, deci $320 = 5 \cdot 2^{n-1}$. **Răspuns corect:** C. $7$ **Rezolvare** $5 \cdot 2^{n-1} = 320 \Rightarrow 2^{n-1} = 64 = 2^6 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$. --- ## Progresii geometrice #6 — Mediu · 5 puncte Calculați suma $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$. A. $\dfrac{3}{2}$ B. $2$ C. $\dfrac{5}{2}$ D. $\infty$ **Indiciu:** Pentru o PG infinită cu $|q| < 1$: $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$. **Răspuns corect:** B. $2$ **Rezolvare** $b_1 = 1$, $q = \dfrac{1}{2}$: $S = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$. --- ## Progresii geometrice #7 — Avansat · 5 puncte Numerele $a, b, c$ sunt în PG și $a + b + c = 14$, $abc = 64$. Termenul din mijloc $b$ este egal cu: A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $6$ **Indiciu:** Într-o PG, $b^2 = ac$. Combinat cu $abc = 64$, rezultă $b^3 = 64$. **Răspuns corect:** C. $4$ **Rezolvare** Deoarece $b^2 = ac$, produsul $abc = b \cdot ac = b \cdot b^2 = b^3 = 64$, deci $b = 4$. --- ## Progresii geometrice #8 — Avansat · 5 puncte Pentru progresia geometrică $(b_n)_{n \ge 1}$ cu $b_1 = 2$ și $q = \sqrt{5}$, calculați $\left\lfloor b_4 \right\rfloor$ (partea întreagă a lui $b_4$). A. $20$ B. $21$ C. $22$ D. $25$ **Indiciu:** $b_4 = b_1 \cdot q^{3} = 2 \cdot (\sqrt{5})^{3} = 2 \cdot 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$. Estimați $\sqrt{5}$. **Răspuns corect:** C. $22$ **Rezolvare** $b_4 = 10\sqrt{5}$. Deoarece $\sqrt{5} \approx 2{,}236$, $b_4 \approx 22{,}36$, deci $\lfloor b_4 \rfloor = 22$. --- ## Progresii geometrice #9 — Avansat · 5 puncte Pentru progresia geometrică $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$, suma $b_2 + b_4 + b_6$ este egală cu: A. $36$ B. $42$ C. $48$ D. $56$ **Indiciu:** Observați că $b_2, b_4, b_6$ formează ele însele o progresie geometrică cu rația $q^2 = 4$. **Răspuns corect:** B. $42$ **Rezolvare** $b_2 = 2$, $b_4 = 8$, $b_6 = 32$. Suma este $2 + 8 + 32 = 42$. (Aceste trei formează o PG cu primul termen $2$ și rația $4$.) --- ## Progresii geometrice #10 — Expert · 5 puncte Într-o progresie geometrică cu $b_1=1$ și $q=2$, primul termen care depășește $1000$ este: A. $b_{10}=512$ B. $b_{12}=2048$ C. $b_{11}=1024$ D. $b_{11}=2048$ **Indiciu:** Rezolvă $2^{\,n-1}>1000$ și ia cel mai mic $n$ natural care convine. **Răspuns corect:** C. $b_{11}=1024$ **Rezolvare** $$b_n=2^{\,n-1}>1000.$$ Cum $2^9=512<1000<1024=2^{10}$, prima putere care depășește $1000$ este $2^{10}$, deci $n-1=10$, adică $n=11$ și $$b_{11}=1024.$$ ✓ (Verificare: $b_{10}=512<1000$ ✓) --- ## Progresii geometrice #11 — Expert · 5 puncte Numerele nenule $a$, $b$, $c$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, iar $a$, $c$, $b$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Dacă $a\ne b$, atunci raportul $\dfrac{c}{a}$ este: A. $-\dfrac12$ B. $1$ C. $2$ D. $-2$ **Indiciu:** Scrie fiecare condiție ca o egalitate (medie aritmetică, respectiv medie geometrică), elimină pe $b$, apoi împarte prin $a^2$ pentru a obține o ecuație în $t=\dfrac ca$. **Răspuns corect:** A. $-\dfrac12$ **Rezolvare** Cele două condiții se scriu: $$2b=a+c\qquad\text{(progresie aritmetică)},\qquad c^2=ab\qquad\text{(progresie geometrică)}.$$ Din prima, $b=\dfrac{a+c}{2}$. Înlocuind în a doua: $$c^2=a\cdot\frac{a+c}{2}\ \Rightarrow\ 2c^2-ac-a^2=0.$$ Cum $a\ne 0$, împărțim prin $a^2$ și notăm $t=\dfrac ca$: $$2t^2-t-1=0\ \Rightarrow\ t=\frac{1\pm 3}{4}\ \Rightarrow\ t=1\ \text{ sau }\ t=-\frac12.$$ Dacă $t=1$, atunci $c=a$ și deci $b=\dfrac{a+a}{2}=a$ — contrazice ipoteza $a\ne b$. Rămâne $$\frac ca=-\frac12.$$ ✓ Verificare numerică cu $a=4$: $c=-2$ și $b=\dfrac{4-2}{2}=1$. - $a,b,c=4,\,1,\,-2$ — progresie aritmetică de rație $-3$ ✓ - $a,c,b=4,\,-2,\,1$ — progresie geometrică de rație $-\dfrac12$ ✓ --- ## Progresii geometrice #12 — Legendar · 5 puncte Trei numere pozitive $x,y,z$ formează (în această ordine) o progresie geometrică cu suma $21$. Dacă micșorăm al treilea termen cu $3$, numerele $x,\,y,\,z-3$ formează (în această ordine) o progresie aritmetică. Valoarea produsului $xyz$ este: A. $108$ B. $126$ C. $162$ D. $216$ **Indiciu:** Folosește $y^2=xz$ (proprietatea progresiei geometrice) și $2y=x+(z-3)$ (proprietatea noii progresii aritmetice) împreună cu $x+y+z=21$, pentru a afla mai întâi $y$, apoi $x+z$ și $xz$. **Răspuns corect:** D. $216$ **Rezolvare** Din progresia geometrică: $y^2=xz$. Din progresia aritmetică nouă: $2y=x+(z-3) \Rightarrow x+z=2y+3$. Combinând cu $x+y+z=21$: $(2y+3)+y=21 \Rightarrow 3y=18 \Rightarrow y=6$. Atunci $x+z=15$ și $xz=y^2=36$. Rezolvând $t^2-15t+36=0$: discriminant $225-144=81$, $t=\frac{15\pm9}{2}$, deci $t=12$ sau $t=3$. Așadar $\{x,z\}=\{3,12\}$ — există două ordonări posibile ($x=3,z=12$ cu rația $q=2$, sau $x=12,z=3$ cu $q=\frac12$), dar în ambele cazuri produsul $xyz=6\cdot3\cdot12=216$, fiindcă produsul e simetric în $x$ și $z$. Verificare: pentru $x=3,y=6,z=12$: suma $3+6+12=21$ ✓; noua secvență $3,6,9$ este progresie aritmetică cu rația $3$ ✓. ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.