[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/proprietatile-functiilor > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/proprietatile-functiilor** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/proprietatile-functiilor** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Funcții — proprietăți generale — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 40 exerciții cu funcții — proprietăți generale în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Funcții — proprietăți generale #1 — Începător · 5 puncte Domeniul maximal al funcției $f(x) = \sqrt{x - 2}$ este: A. $\mathbb{R}$ B. $(-\infty, 2]$ C. $[2, +\infty)$ D. $(2, +\infty)$ **Indiciu:** O rădăcină pătrată este definită când radicantul este $\ge 0$. **Răspuns corect:** C. $[2, +\infty)$ **Rezolvare** Avem nevoie de $x - 2 \ge 0$, adică $x \ge 2$. Domeniul este $[2, +\infty)$. --- ## Funcții — proprietăți generale #2 — Începător · 5 puncte Pentru $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 1$, imaginea $\operatorname{Im}(f)$ este: A. $\mathbb{R}$ B. $(0, +\infty)$ C. $[1, +\infty)$ D. $[0, +\infty)$ **Indiciu:** $x^2 \ge 0$ pentru orice $x$ real, cu egalitate în $x = 0$. **Răspuns corect:** C. $[1, +\infty)$ **Rezolvare** $f(x) = x^2 + 1 \ge 1$, cu egalitate doar în $x = 0$. Deci $\operatorname{Im}(f) = [1, +\infty)$. --- ## Funcții — proprietăți generale #3 — Mediu · 5 puncte Considerați $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$. Care afirmație este corectă? A. $f$ nu este nici injectivă, nici surjectivă B. $f$ este injectivă dar nu surjectivă C. $f$ este surjectivă dar nu injectivă D. $f$ este bijectivă **Indiciu:** Verificați dacă $f(-1) = f(1)$, și dacă $-1$ are un preimage. **Răspuns corect:** A. $f$ nu este nici injectivă, nici surjectivă **Rezolvare** $f(-1) = 1 = f(1)$, deci $f$ nu este injectivă. Valoarea $-1$ nu are niciun preimage real (deoarece $x^2 \ge 0$), deci $f$ nu este surjectivă. --- ## Funcții — proprietăți generale #4 — Mediu · 5 puncte Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 6$. Inversa $f^{-1}$ este: A. $f^{-1}(y) = \dfrac{y}{3} + 6$ B. $f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}$ C. $f^{-1}(y) = 3y + 6$ D. $f^{-1}(y) = \dfrac{y - 6}{3}$ **Indiciu:** Puneți $y = 3x - 6$ și rezolvați față de $x$. **Răspuns corect:** B. $f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}$ **Rezolvare** $y = 3x - 6 \Rightarrow x = \dfrac{y + 6}{3}$, deci $f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}$. --- ## Funcții — proprietăți generale #5 — Mediu · 5 puncte Funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 3$ este bijectivă. Determinați abscisa punctului de intersecție al graficelor lui $f$ și $f^{-1}$. A. $-3$ B. $0$ C. $3$ D. $6$ **Indiciu:** Graficele lui $f$ și $f^{-1}$ se intersectează pe dreapta $y = x$. Deci rezolvați $f(x) = x$. **Răspuns corect:** C. $3$ **Rezolvare** Graficul lui $f^{-1}$ este reflexia graficului lui $f$ față de $y = x$. Intersecția lor se află pe $y = x$, deci rezolvăm $f(x) = x$: $2x - 3 = x \Rightarrow x = 3$. --- ## Funcții — proprietăți generale #6 — Mediu · 5 puncte Pentru ce valoare $a \in \mathbb{R}$ funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (a - 2)\,x + 5$, **nu** este inversabilă? A. $a = 0$ B. $a = 1$ C. $a = 2$ D. $a = 5$ **Indiciu:** O funcție afină $ax + b$ este bijectivă dacă și numai dacă coeficientul dominant este nenul. **Răspuns corect:** C. $a = 2$ **Rezolvare** $f$ este inversabilă dacă și numai dacă panta $a - 2 \ne 0$. Deci $f$ nu este inversabilă exact când $a = 2$ (devine constanta $5$, nici injectivă, nici surjectivă). --- ## Funcții — proprietăți generale #7 — Avansat · 5 puncte Pentru $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$, care afirmație este corectă? A. $f$ nu este nici injectivă, nici surjectivă B. $f$ este injectivă dar nu surjectivă C. $f$ este surjectivă dar nu injectivă D. $f$ este bijectivă **Indiciu:** Cubicul este strict crescător pe $\mathbb{R}$, iar ecuația $x^3 = c$ are întotdeauna o soluție reală. **Răspuns corect:** D. $f$ este bijectivă **Rezolvare** $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă. Pentru orice $y \in \mathbb{R}$, $x = \sqrt[3]{y}$ satisface $f(x) = y$, deci surjectivă. Astfel $f$ este bijectivă, cu $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$. --- ## Funcții — proprietăți generale #8 — Avansat · 5 puncte Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definită prin $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ 2x + 1, & x \ge 0 \end{cases}$. Care afirmație este corectă? A. $f$ nu este injectivă deoarece $f(-1) = f(0)$ B. $f$ este injectivă dar nu surjectivă C. $f$ este surjectivă dar nu injectivă D. $f$ este bijectivă **Indiciu:** Calculați imaginea fiecărei ramuri separat și verificați că cele două intervale se potrivesc exact. **Răspuns corect:** D. $f$ este bijectivă **Rezolvare** **Ramura stângă** ($x < 0$): $f(x) = x + 1 \in (-\infty,\, 1)$, strict crescătoare. **Ramura dreaptă** ($x \ge 0$): $f(x) = 2x + 1 \in [1,\, +\infty)$, strict crescătoare. Cele două imagini $(-\infty, 1)$ și $[1, +\infty)$ sunt disjuncte și reunite acoperă $\mathbb{R}$, deci $f$ este **surjectivă**. Fiecare ramură este strict crescătoare și imaginile nu se suprapun, deci $f$ este **injectivă**. Astfel $f$ este **bijectivă**. (Notă: $f(-1) = 0$ și $f(0) = 1$, deci distractor A este factual fals.) --- ## Funcții — proprietăți generale #9 — Avansat · 5 puncte Fie $f(x)=\sqrt x$ și $g(x)=6-x^2$. Domeniul maxim de definiție al funcției compuse $f\circ g$ este: A. $[-6,6]$ B. $[-\sqrt6,\sqrt6]$ C. $(-\infty,\sqrt6]$ D. $[0,\sqrt6]$ **Indiciu:** Funcția $f\circ g$ este definită acolo unde $g(x)\ge0$. **Răspuns corect:** B. $[-\sqrt6,\sqrt6]$ **Rezolvare** Trebuie $g(x)=6-x^2\ge0$, adică $$x^2\le6 \iff x\in[-\sqrt6,\sqrt6].$$ Verificare: la $x=0$: $g(0)=6\ge0$, valid ✓; la $x=3$: $g(3)=6-9=-3<0$, invalid, iar $3>\sqrt6\approx2{,}449$. ✓ --- ## Funcții — proprietăți generale #10 — Expert · 5 puncte Se dă funcția $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$, definită pentru $x\ne1$. Valoarea lui $(f\circ f)(2026)$ este: A. $2026$ B. $1$ C. $-2026$ D. $\dfrac{1}{2026}$ **Indiciu:** Nu calcula direct $f(2026)$ și apoi $f$ din nou pe rezultat (deși funcționează) — încearcă întâi să arăți algebric, pentru $x$ general, ce este $f(f(x))$. **Răspuns corect:** A. $2026$ **Rezolvare** **Recunoașterea cheie:** calculăm $f(f(x))$ pentru $x$ general. Fie $y=f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$. Atunci $$f(y)=\frac{y+1}{y-1} = \frac{\dfrac{x+1}{x-1}+1}{\dfrac{x+1}{x-1}-1} = \frac{\dfrac{(x+1)+(x-1)}{x-1}}{\dfrac{(x+1)-(x-1)}{x-1}} = \frac{2x}{2}=x.$$ Deci $f(f(x))=x$ pentru orice $x\ne1$ (cu $f(x)\ne1$, condiție satisfăcută aici) — funcția $f$ este o **involuție**: aplicată de două ori, întoarce valoarea inițială. Așadar $(f\circ f)(2026)=2026$, fără a fi nevoie de calcul explicit. Verificare directă: $f(2026)=\dfrac{2027}{2025}$; $f\left(\dfrac{2027}{2025}\right)=\dfrac{\frac{2027}{2025}+1}{\frac{2027}{2025}-1}=\dfrac{\frac{4052}{2025}}{\frac{2}{2025}}=\dfrac{4052}{2}=2026$. ✓ --- ## Funcții — proprietăți generale #11 — Expert · 5 puncte Numărul valorilor întregi din domeniul maxim de definiție al funcției $$f(x) = \sqrt{x^2-1} + \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$$ este: A. $5$ B. $6$ C. $4$ D. $3$ **Indiciu:** Ai două condiții independente: $x^2-1\ge0$ (radical liber) și $9-x^2>0$, strict (radical la numitor). Intersectează-le înainte de a număra întregii. **Răspuns corect:** C. $4$ **Rezolvare** **Condiția 1:** $x^2-1\ge0 \iff x\le-1$ sau $x\ge1$. **Condiția 2:** $9-x^2>0$ (strict, fiind la numitor) $\iff -30$, obținând greșit $(-1,+\infty)$ — uitând că simplificarea este validă **numai pentru $x\neq1$**, iar acea restricție face parte din domeniul funcției ORIGINALE, indiferent cât de „inofensivă" ar părea valoarea simplificată în $x=1$. **Rezolvare corectă**, în doi pași care se aplică simultan: 1. Expresia $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ este definită doar pentru $x\neq1$ (numitorul nu poate fi $0$) — aceasta este o restricție a domeniului, independentă de orice simplificare ulterioară. 2. Pentru $x\neq1$, expresia este egală cu $x+1$, iar logaritmul cere argumentul strict pozitiv: $x+1>0 \iff x>-1$. Combinând: $x>-1$ **și** $x\neq1$, adică $x\in(-1,1)\cup(1,+\infty)$. Verificare directă (fără simplificare) la $x=1$: $\dfrac{1^2-1}{1-1}=\dfrac{0}{0}$ — nedefinit, deci $x=1$ trebuie exclus, confirmând că opțiunea $(-1,+\infty)$ (care l-ar include) este greșită. La $x=2$: $\dfrac{4-1}{2-1}=3>0$, $\ln3$ definit — inclus corect. La $x=0$: $\dfrac{-1}{-1}=1>0$, $\ln1=0$ definit — inclus corect. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.