[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/rezolvarea-triunghiurilor

> **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/rezolvarea-triunghiurilor**
> Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru
> agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator
> către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/rezolvarea-triunghiurilor** — nu adresa fișierului .md.

# Exerciții rezolvate cu Rezolvarea triunghiurilor — clasa a 9-a

Clasa a 9-a · 39 exerciții cu rezolvarea triunghiurilor în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC.

## Rezolvarea triunghiurilor #1 — Începător · 5 puncte

Un triunghi dreptunghic are catetele $3$ și $4$. Aria sa este egală cu:

A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $12$

**Indiciu:** Aria unui triunghi dreptunghic $= \dfrac{1}{2} \cdot \text{catetă}_1 \cdot \text{catetă}_2$.

**Răspuns corect:** B. $6$

**Rezolvare**

Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #2 — Începător · 5 puncte

În $\triangle ABC$, $AB = 6$, $AC = 8$ și $\angle A = \dfrac{\pi}{6}$. Aria este egală cu:

A. $48$
B. $24$
C. $12$
D. $6$

**Indiciu:** Aria $= \dfrac{1}{2}\, b \, c \, \sin A$.

**Răspuns corect:** C. $12$

**Rezolvare**

Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin\dfrac{\pi}{6} = 24 \cdot \dfrac{1}{2} = 12$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #3 — Mediu · 5 puncte

În $\triangle ABC$, $\angle A = \dfrac{\pi}{6}$, $\angle B = \dfrac{\pi}{4}$ și $a = 4$. Latura $b$ este egală cu:

A. $2\sqrt{2}$
B. $4$
C. $4\sqrt{2}$
D. $8\sqrt{2}$

**Indiciu:** Teorema sinusurilor: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$.

**Răspuns corect:** C. $4\sqrt{2}$

**Rezolvare**

$\dfrac{4}{\sin(\pi/6)} = \dfrac{b}{\sin(\pi/4)} \Rightarrow \dfrac{4}{1/2} = \dfrac{b}{\sqrt{2}/2} \Rightarrow 8 = \dfrac{b}{\sqrt{2}/2} \Rightarrow b = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #4 — Mediu · 5 puncte

În $\triangle ABC$, $AB = 5$, $BC = 12$, $AC = 13$. Aria este egală cu:

A. $20$
B. $24$
C. $30$
D. $60$

**Indiciu:** Verificați dacă triunghiul este dreptunghic: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

**Răspuns corect:** C. $30$

**Rezolvare**

Deoarece $5^2 + 12^2 = 13^2$, $\triangle ABC$ este dreptunghic în $B$. Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #5 — Mediu · 5 puncte

Aria unui triunghi cu laturile $5$, $6$, $7$ este cel mai aproape de:

A. $10$
B. $12$
C. $14.7$
D. $21$

**Indiciu:** Formula lui Heron: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ unde $s$ este semiperímetrul.

**Răspuns corect:** C. $14.7$

**Rezolvare**

$s = \dfrac{5 + 6 + 7}{2} = 9$. $A = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14.70$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #6 — Mediu · 5 puncte

În $\triangle ABC$, $a = 6$ și $\angle A = \dfrac{\pi}{6}$. Raza cercului circumscris $R$ este egală cu:

A. $3$
B. $\sqrt{3}$
C. $6$
D. $12$

**Indiciu:** Teorema sinusurilor: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$.

**Răspuns corect:** C. $6$

**Rezolvare**

$2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{6}{1/2} = 12 \Rightarrow R = 6$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #7 — Avansat · 5 puncte

În $\triangle ABC$, $a = 7$, $b = 5$, $c = 3$. Măsura unghiului $\angle A$ este:

A. $\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{3}$
C. $\dfrac{2\pi}{3}$
D. $\dfrac{5\pi}{6}$

**Indiciu:** Teorema cosinusului: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Latura cea mai mare este opusă unghiului cel mai mare.

**Răspuns corect:** C. $\dfrac{2\pi}{3}$

**Rezolvare**

$\cos A = \dfrac{25 + 9 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$. Deoarece $A \in (0, \pi)$, $A = \dfrac{2\pi}{3}$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #8 — Avansat · 5 puncte

Aria unui triunghi echilateral cu latura $a = 6$ este egală cu:

A. $9$
B. $6\sqrt{3}$
C. $9\sqrt{3}$
D. $18$

**Indiciu:** Aria unui triunghi echilateral: $A = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

**Răspuns corect:** C. $9\sqrt{3}$

**Rezolvare**

$A = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #9 — Avansat · 5 puncte

Într-un triunghi $ABC$, $\sin A:\sin B:\sin C = 3:4:5$, iar perimetrul triunghiului este $36$. Cea mai mare latură a triunghiului este egală cu:

A. $12$
B. $9$
C. $15$
D. $18$

**Indiciu:** Teorema sinusurilor spune că laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse: $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$. Împarte perimetrul în $3+4+5=12$ părți egale.

**Răspuns corect:** C. $15$

**Rezolvare**

Din teorema sinusurilor, laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse:
$$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C = 3:4:5.$$

Notăm laturile $3k,4k,5k$. Perimetrul: $3k+4k+5k=12k=36 \implies k=3$.

Laturile sunt $9,12,15$. Cea mai mare este $c=5k=15$.

Verificare: $9+12+15=36$ ✓, iar $9:12:15=3:4:5$ ✓ (raportul se păstrează).

---

## Rezolvarea triunghiurilor #10 — Expert · 5 puncte

Într-un triunghi $ABC$ cu $a=6$, $b=9$ și $\widehat A=30^\circ$ există două triunghiuri necongruente posibile (cazul ambiguu SSA). Suma laturilor $c_1+c_2$ corespunzătoare celor două configurații este:

A. $6\sqrt7$
B. $18$
C. $\dfrac{9\sqrt7}{2}$
D. $9\sqrt3$

**Indiciu:** Găsește $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}$ (verifică $h=b\sin A<a<b$ pentru cazul ambiguu). Cele două valori posibile ale unghiului $B$ sunt $B_1=\arcsin(\sin B)$ și $B_2=180^\circ-B_1$; calculează $C_1,C_2$ și apoi $c_1,c_2$ separat.

**Răspuns corect:** D. $9\sqrt3$

**Rezolvare**

Verificăm cazul ambiguu: $h=b\sin A=9\cdot\dfrac12=4{,}5$, iar $h=4{,}5<a=6<b=9$ — confirmă cele două triunghiuri.

$$\sin B = \frac{b\sin A}{a}=\frac{9\cdot\frac12}{6}=\frac34.$$

Deci $\cos B_1=\dfrac{\sqrt7}{4}$ (unghi ascuțit) și $\cos B_2=-\dfrac{\sqrt7}{4}$ (unghi obtuz, $B_2=180^\circ-B_1$).

**Cazul 1:** $C_1=150^\circ-B_1$. Folosind $\sin(150^\circ-B_1)=\sin150^\circ\cos B_1-\cos150^\circ\sin B_1=\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac34=\dfrac{\sqrt7+3\sqrt3\cdot2}{8}$... calculăm direct:
$$\sin C_1 = \frac12\cdot\frac{\sqrt7}{4}-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cdot\frac34 = \frac{\sqrt7}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt7+3\sqrt3}{8}.$$
$$c_1 = \frac{a\sin C_1}{\sin A} = \frac{6\cdot\frac{\sqrt7+3\sqrt3}{8}}{\frac12} = \frac{12(\sqrt7+3\sqrt3)}{8}=\frac{3(\sqrt7+3\sqrt3)}{2}.$$

**Cazul 2:** $C_2=150^\circ-B_2=B_1-30^\circ$.
$$\sin C_2 = \sin B_1\cos30^\circ-\cos B_1\sin30^\circ = \frac34\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt7}{4}\cdot\frac12=\frac{3\sqrt3-\sqrt7}{8}.$$
$$c_2 = \frac{6\cdot\frac{3\sqrt3-\sqrt7}{8}}{\frac12} = \frac{3(3\sqrt3-\sqrt7)}{2}.$$

**Suma:**
$$c_1+c_2 = \frac{3(\sqrt7+3\sqrt3)}{2}+\frac{3(3\sqrt3-\sqrt7)}{2} = \frac{3\cdot6\sqrt3}{2} = 9\sqrt3.$$

Termenii cu $\sqrt7$ se anulează complet — o simplificare neevidentă la prima vedere.

Verificare numerică: $B_1\approx48{,}59^\circ$, $C_1\approx101{,}41^\circ$, $c_1\approx11{,}763$; $B_2\approx131{,}41^\circ$, $C_2\approx18{,}59^\circ$, $c_2\approx3{,}826$; suma $\approx15{,}589$, iar $9\sqrt3\approx15{,}588$. ✓

---

## Rezolvarea triunghiurilor #11 — Expert · 5 puncte

Un triunghi are laturile trei numere naturale consecutive, $n-1$, $n$, $n+1$, iar unghiul cel mai mare este exact dublul unghiului celui mai mic. Determinați $n$.

A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $7$

**Indiciu:** Unghiul mic $A$ e opus laturii $n-1$, unghiul mare $C$ e opus laturii $n+1$. Scrie $\cos A$ și $\cos C$ cu teorema cosinusului (în funcție de $n$), apoi impune $\cos C=2\cos^2A-1$.

**Răspuns corect:** B. $5$

**Rezolvare**

Cu $a=n-1$ (opus lui $A$), $b=n$, $c=n+1$ (opus lui $C$):
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{n^2+4n}{2n(n+1)}=\frac{n+4}{2(n+1)},\qquad \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{n^2-4n}{2n(n-1)}=\frac{n-4}{2(n-1)}.$$

Condiția $\widehat C=2\widehat A$ înseamnă $\cos C=2\cos^2A-1$. Rezolvând această ecuație în $n$ (cu restricția $n>2$, cerută de inegalitatea triunghiului $(n-1)+n>n+1$), singura soluție validă este $n=5$ (cealaltă rădăcină, $n=\tfrac12$, nu dă un triunghi valid).

**Verificare directă** (laturile $4,5,6$): $\cos A=\dfrac{25+36-16}{60}=\dfrac{45}{60}=\dfrac34$ (unghiul opus lui $4$, cel mai mic), $\cos C=\dfrac{16+25-36}{40}=\dfrac{5}{40}=\dfrac18$ (opus lui $6$, cel mai mare). Verificăm: $2\cos^2A-1=2\cdot\dfrac9{16}-1=\dfrac{18}{16}-1=\dfrac18=\cos C$. ✓ Deci $\widehat C=2\widehat A$, confirmând $n=5$.

---

## Rezolvarea triunghiurilor #12 — Legendar · 5 puncte

Triunghiul $ABC$, înscris într-un cerc de rază $R$, are laturile $a,b,c$ astfel încât $a^2+b^2+c^2=8R^2$. Triunghiul $ABC$ este în mod necesar:

A. echilateral
B. dreptunghic
C. isoscel (dar nu neapărat dreptunghic)
D. obtuzunghic

**Indiciu:** Din teorema sinusurilor, $a=2R\sin A$ etc. Rescrie condiția în termeni de $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C$ și folosește identitatea (valabilă pentru orice triunghi, cu $C=\pi-A-B$): $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2\cos A\cos B\cos C$.

**Răspuns corect:** B. dreptunghic

**Rezolvare**

Din teorema sinusurilor, $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, deci
$$a^2+b^2+c^2 = 4R^2\left(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\right) = 8R^2 \implies \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2.$$

**Identitatea cheie** (valabilă pentru orice triunghi, deoarece $A+B+C=\pi$):
$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C = 2+2\cos A\cos B\cos C.$$

Combinând cu condiția $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$, obținem
$$2+2\cos A\cos B\cos C = 2 \implies \cos A\cos B\cos C = 0.$$

Cum $A,B,C\in(0,\pi)$, produsul $\cos A\cos B\cos C$ este $0$ **exact atunci când unul dintre unghiuri este $\dfrac\pi2$** (singurul unghi din $(0,\pi)$ cu cosinusul nul). Deci triunghiul are un unghi drept — este **dreptunghic**.

Verificare: pentru un triunghi dreptunghic-isoscel ($90^\circ,45^\circ,45^\circ$): $\sin^290^\circ+\sin^245^\circ+\sin^245^\circ=1+\tfrac12+\tfrac12=2$ ✓. Pentru un triunghi echilateral ($60^\circ,60^\circ,60^\circ$, care NU verifică ipoteza): $\sin^260^\circ\cdot3=\tfrac34\cdot3=2{,}25\neq2$ — confirmă că echilateral nu satisface condiția, deci nu poate fi răspunsul. ✓

## Reutilizare · Reuse

Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests.

Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed.

Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro.

Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.