[canonical]: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/vectori > **Pagina web: https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/vectori** > Acesta este doar formatul Markdown al paginii de mai sus, publicat pentru > agenți și crawlere AI. Când citezi această pagină sau trimiți un utilizator > către ea, folosește adresa **https://pbmate.ro/p/exercitii/clasa-9/vectori** — nu adresa fișierului .md. # Exerciții rezolvate cu Vectori în plan — clasa a 9-a Clasa a 9-a · 79 exerciții cu vectori în plan în bibliotecă, 12 incluse integral mai jos — enunț, variante de răspuns, indiciu, răspunsul corect și rezolvarea completă, în stilul baremului oficial de BAC. ## Vectori în plan #1 — Începător · 5 puncte Pentru $\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$, modulul $|\vec{u}|$ este egal cu: A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $7$ **Indiciu:** $|a\vec{i} + b\vec{j}| = \sqrt{a^2 + b^2}$. **Răspuns corect:** C. $5$ **Rezolvare** $|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. --- ## Vectori în plan #2 — Începător · 5 puncte Pentru $\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j}$ și $\vec{v} = 3\vec{i} - \vec{j}$, suma $\vec{u} + \vec{v}$ este egală cu: A. $4\vec{i} + 2\vec{j}$ B. $4\vec{i} - 3\vec{j}$ C. $4\vec{i} + \vec{j}$ D. $-2\vec{i} + 3\vec{j}$ **Răspuns corect:** C. $4\vec{i} + \vec{j}$ **Rezolvare** Se adună componentele: $(1 + 3)\vec{i} + (2 - 1)\vec{j} = 4\vec{i} + \vec{j}$. --- ## Vectori în plan #3 — Mediu · 5 puncte Sunt vectorii $\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j}$ și $\vec{v} = 2\vec{i} + 4\vec{j}$ coliniari? A. Da, $\vec{v} = 2\vec{u}$ B. Nu, produsul scalar este nenul C. Da, dar numai pentru că sunt perpendiculari D. Nu, au module diferite **Indiciu:** Doi vectori nenuli sunt coliniari dacă și numai dacă unul este multiplu scalar al celuilalt. **Răspuns corect:** A. Da, $\vec{v} = 2\vec{u}$ **Rezolvare** $\vec{v} = 2\vec{u}$, deci cei doi vectori sunt coliniari (paraleli). --- ## Vectori în plan #4 — Mediu · 5 puncte Pentru $\vec{u} = \vec{i} + \vec{j}$ și $\vec{v} = a\vec{i} - 2\vec{j}$, găsiți $a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\vec{u}$ și $\vec{v}$ să fie coliniari. A. $-2$ B. $-\dfrac{1}{2}$ C. $\dfrac{1}{2}$ D. $2$ **Indiciu:** Pentru coliniaritate, componentele trebuie să fie proporționale: $\dfrac{a}{1} = \dfrac{-2}{1}$. **Răspuns corect:** A. $-2$ **Rezolvare** $\vec{v} = k \vec{u}$ pentru un $k$ ⇒ $a = k$ și $-2 = k$. Deci $a = -2$. --- ## Vectori în plan #5 — Mediu · 5 puncte Găsiți $m \in \mathbb{R}$ astfel încât $\vec{u} = m\vec{i} + 3\vec{j}$ și $\vec{v} = 4\vec{i} + (m + 1)\vec{j}$ să fie perpendiculari. A. $-1$ B. $-\dfrac{3}{7}$ C. $\dfrac{3}{7}$ D. $1$ **Indiciu:** Perpendiculari ⟺ produsul scalar este zero. **Răspuns corect:** B. $-\dfrac{3}{7}$ **Rezolvare** $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4m + 3(m + 1) = 7m + 3 = 0 \Rightarrow m = -\dfrac{3}{7}$. --- ## Vectori în plan #6 — Mediu · 5 puncte Vectorul $\overrightarrow{AB}$ de la $A(1, 2)$ la $B(4, 6)$ este egal cu: A. $5\vec{i} + 8\vec{j}$ B. $3\vec{i} + 4\vec{j}$ C. $-3\vec{i} - 4\vec{j}$ D. $\vec{i} + 2\vec{j}$ **Indiciu:** $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$. **Răspuns corect:** B. $3\vec{i} + 4\vec{j}$ **Rezolvare** $\overrightarrow{AB} = (4 - 1)\vec{i} + (6 - 2)\vec{j} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$. --- ## Vectori în plan #7 — Avansat · 5 puncte Fie $\vec{a}$ și $\vec{b}$ doi vectori necoliniari. Găsiți $m \in \mathbb{R}$ astfel încât $\vec{u} = 3\vec{a} - (m + 1)\vec{b}$ și $\vec{v} = (m - 1)\vec{a} - 5\vec{b}$ să fie coliniari. A. $\{-4\}$ B. $\{4\}$ C. $\{-4, 4\}$ D. $\{-2, 8\}$ **Indiciu:** Doi vectori $\alpha_1 \vec{a} + \beta_1 \vec{b}$ și $\alpha_2 \vec{a} + \beta_2 \vec{b}$ (cu $\vec{a}, \vec{b}$ necoliniari) sunt coliniari dacă și numai dacă $\alpha_1 \beta_2 = \alpha_2 \beta_1$. **Răspuns corect:** C. $\{-4, 4\}$ **Rezolvare** $3 \cdot (-5) = (m - 1)\,(-(m+1))$, adică $-15 = -(m-1)(m+1) = 1 - m^2$, deci $m^2 = 16$ și $m \in \{-4, 4\}$. --- ## Vectori în plan #8 — Avansat · 5 puncte Pentru $\vec{u} = \vec{i} + \vec{j}$ și $\vec{v} = a\vec{i} - 2\vec{j}$, găsiți $a \in \mathbb{R}$ astfel încât $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$. A. $-2$ B. $-1$ C. $2$ D. $4$ **Indiciu:** Condiția $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$ este satisfăcută dacă și numai dacă $\vec{u} \perp \vec{v}$, adică $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. **Răspuns corect:** C. $2$ **Rezolvare** $\vec{u} \cdot \vec{v} = a + (-2) = a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$. --- ## Vectori în plan #9 — Avansat · 5 puncte Se dau $A(2,-1)$ și $B(12,9)$. Punctul $P$ împarte segmentul $[AB]$ astfel încât $AP:PB=3:2$. Calculați coordonatele lui $P$. A. $(6,3)$ B. $(8,5)$ C. $(7,4)$ D. $(12,9)$ **Indiciu:** $\vec P=\vec A+\dfrac35\overrightarrow{AB}$ (deoarece $AP$ reprezintă $3$ din cele $5$ părți ale segmentului). **Răspuns corect:** B. $(8,5)$ **Rezolvare** $$\overrightarrow{AB}=(10,10), \qquad \vec P = \vec A+\frac35\overrightarrow{AB}=(2,-1)+\frac35(10,10)=(2+6,\,-1+6)=(8,5).$$ **Verificare:** distanța $AP=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2$, $PB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$, raport $AP:PB=6\sqrt2:4\sqrt2=3:2$. ✓ (Distractorul $(6,3)$ apare dacă inversezi raportul, folosind $\frac25$ în loc de $\frac35$.) --- ## Vectori în plan #10 — Expert · 5 puncte În triunghiul $ABC$ cu $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{AC}=\vec v$, fie $M,N,P$ mijloacele laturilor $BC,CA,AB$. Calculați $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}$. A. $\dfrac12(\vec u+\vec v)$ B. $\vec u+\vec v$ C. $-\dfrac12(\vec u+\vec v)$ D. $\vec 0$ **Indiciu:** Ia $A$ origine ($B=\vec u$, $C=\vec v$). Scrie fiecare vector-mediană ca diferență de poziții ($\overrightarrow{AM}=M-A$ etc.) și adună-le. **Răspuns corect:** D. $\vec 0$ **Rezolvare** Cu $A$ origine: $M=\dfrac{\vec u+\vec v}2$, $N=\dfrac{\vec v}2$ (mijlocul $[CA]$, cu $A$ origine), $P=\dfrac{\vec u}2$. $$\overrightarrow{AM}=\frac{\vec u+\vec v}2,\quad \overrightarrow{BN}=N-B=\frac{\vec v}2-\vec u,\quad \overrightarrow{CP}=P-C=\frac{\vec u}2-\vec v.$$ Adunând, coeficienții lui $\vec u$: $\dfrac12-1+\dfrac12=0$; coeficienții lui $\vec v$: $\dfrac12+\dfrac12-1=0$. Deci $$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\vec 0.$$ **Verificare numerică:** pentru $A(1,2)$, $B(5,-1)$, $C(3,9)$ (triunghi arbitrar), calculul direct al celor trei vectori-mediane și suma lor dă $(0,0)$. ✓ Rezultatul e independent de forma triunghiului — identitatea „se prăbușește" complet. --- ## Vectori în plan #11 — Expert · 5 puncte În triunghiul $ABC$, punctul $D \in BC$ verifică $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$, iar punctul $E \in AC$ verifică $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{1}$. Dreptele $AD$ și $BE$ se intersectează în $P$. Raportul $\dfrac{AP}{PD}$ este egal cu: A. $6$ B. $\dfrac{6}{7}$ C. $3$ D. $\dfrac{1}{6}$ **Indiciu:** Notează $\vec{AB}=\vec u$, $\vec{AC}=\vec v$ (cu $A$ originea). Scrie $D=\vec{AD}$ și $E=\vec{AE}$ ca și combinații de $\vec u,\vec v$, apoi parametrizează $P$ pe $AD$ cu $t$ și pe $BE$ cu $s$; egalează coeficienții lui $\vec u$ și $\vec v$. **Răspuns corect:** A. $6$ **Rezolvare** Fie $A$ originea, $\vec u=\vec{AB}$, $\vec v=\vec{AC}$. Din $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2}$: $D=B+\dfrac13(C-B)=\dfrac23\vec u+\dfrac13\vec v$. Din $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac21$: $E=A+\dfrac23(C-A)=\dfrac23\vec v$. Pe $AD$: $P=t\cdot D=\dfrac{2t}{3}\vec u+\dfrac{t}{3}\vec v$. Pe $BE$: $P=B+s(E-B)=(1-s)\vec u+\dfrac{2s}{3}\vec v$. Egalând coeficienții: $$\frac{2t}{3}=1-s \quad\text{și}\quad \frac{t}{3}=\frac{2s}{3}\iff t=2s.$$ Înlocuind $t=2s$ în prima ecuație: $\dfrac{4s}{3}=1-s \iff 4s=3-3s \iff s=\dfrac37$, deci $t=\dfrac67$. Cum $P=t\cdot D$ pe segmentul $AD$, avem $\dfrac{AP}{AD}=t=\dfrac67$, deci $\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{6/7}{1/7}=6$. Verificare (coordonate $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$): $D=(2/3,1/3)$, $E=(0,2/3)$; intersecția $AD\cap BE$ dă $P=(4/7,2/7)$, iar $\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{4/7}{2/3-4/7}=6$. ✓ --- ## Vectori în plan #12 — Legendar · 5 puncte În triunghiul $ABC$, $D\in BC$ cu $BD:DC=1:2$ și $E\in CA$ cu $CE:EA=1:2$. Fie $P=AD\cap BE$. Dacă (pentru o origine arbitrară) $\vec P=x\vec A+y\vec B+z\vec C$ cu $x+y+z=1$, calculați $y$. A. $\dfrac47$ B. $\dfrac17$ C. $\dfrac27$ D. $\dfrac37$ **Indiciu:** Parametrizează $P$ atât pe dreapta $AD$, cât și pe dreapta $BE$, exprimând fiecare ca o combinație afină de $\vec A,\vec B,\vec C$. Cum $A,B,C$ sunt afin independente, coeficienții corespunzători trebuie să coincidă pe cele două parametrizări. **Răspuns corect:** A. $\dfrac47$ **Rezolvare** Cu $D=\dfrac{2\vec B+\vec C}3$ (din $BD:DC=1:2$) și $E=\dfrac{2\vec C+\vec A}3$ (din $CE:EA=1:2$): Pe dreapta $AD$: $\vec P=(1-t)\vec A+\dfrac{2t}3\vec B+\dfrac t3\vec C$. Pe dreapta $BE$: $\vec P=\dfrac s3\vec A+(1-s)\vec B+\dfrac{2s}3\vec C$. **Pasul de recunoaștere:** egalând coeficienții lui $\vec C$: $\dfrac t3=\dfrac{2s}3 \Rightarrow t=2s$. Egalând coeficienții lui $\vec A$: $1-t=\dfrac s3 \Rightarrow 1-2s=\dfrac s3 \Rightarrow s=\dfrac37$, deci $t=\dfrac67$. Coeficientul lui $\vec B$: $y=\dfrac{2t}3=\dfrac{2}3\cdot\dfrac67=\dfrac{4}{7}$. Verificare sumă: $x=1-t=\dfrac17$, $z=\dfrac t3=\dfrac27$; $\dfrac17+\dfrac47+\dfrac27=1$. ✓ **Verificare prin coordonate:** $A(0,0)$, $B(7,0)$, $C(1,9)$: $D=\left(\dfrac{15}3,6\right)$, $E=\left(\dfrac73,3\right)$; intersecția $AD\cap BE$ dă $P=\left(\dfrac{30}7,\dfrac{18}7\right)$, iar rezolvarea sistemului $\vec P=x\vec A+y\vec B+z\vec C$ confirmă $(x,y,z)=\left(\dfrac17,\dfrac47,\dfrac27\right)$. ✓ ## Reutilizare · Reuse Aceste exerciții sunt libere de reutilizat în fișe de lucru și teste de antrenament · These exercises are free to reuse in worksheets and practice tests. Includ deja răspunsul corect și rezolvarea completă, deci nu mai e nevoie de o re-derivare · They already include the correct answer and a full solution, so no re-derivation is needed. Te rugăm să menționezi pbmate.ro ca sursă · Please attribute pbmate.ro. Biblioteca completă, cu rezolvări interactive pas cu pas, e la pbmate.ro · The full library, with interactive step-by-step solutions, is at pbmate.ro.