pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu permutări, aranjamente și combinări — clasa a 10-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu permutări, aranjamente și combinări pentru clasa a 10-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Valoarea lui 5!5! este:
  1. A. 2525
  2. B. 6060
  3. C. 120120
  4. D. 720720
Rezolvare

Răspuns corect: C. 120120

5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120.

Exercițiul 2

Numărul de coduri din 33 litere care se pot forma folosind litere din {A,B,C,D,E}\{A, B, C, D, E\} fără repetiție este:
  1. A. 1515
  2. B. 2020
  3. C. 6060
  4. D. 125125
Rezolvare

Răspuns corect: C. 6060

A53=5⋅4⋅3=60A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.

Exercițiul 3

Numărul de submulțimi cu 33 elemente ale unei mulțimi cu 55 elemente este:
  1. A. 55
  2. B. 1010
  3. C. 1515
  4. D. 6060
Rezolvare

Răspuns corect: B. 1010

C53=5!3!⋅2!=10C_{5}^{3} = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10.

Exercițiul 4

Determinați n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \ge 2, astfel încât Cn2=15C_{n}^{2} = 15.
  1. A. 44
  2. B. 55
  3. C. 66
  4. D. 1515
Rezolvare

Răspuns corect: C. 66

n(n−1)2=15⇒n2−n−30=0⇒n∈{6,−5}\dfrac{n(n-1)}{2} = 15 \Rightarrow n^2 - n - 30 = 0 \Rightarrow n \in \{6, -5\}. Singura valoare admisibilă este n=6n = 6.

Exercițiul 5

Folosind identitatea lui Pascal Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}, calculați C73+C74C_{7}^{3} + C_{7}^{4}.
  1. A. 3535
  2. B. 5656
  3. C. 7070
  4. D. 128128
Rezolvare

Răspuns corect: C. 7070

Prin Pascal: C73+C74=C84=8!4! 4!=70C_{7}^{3} + C_{7}^{4} = C_{8}^{4} = \dfrac{8!}{4!\,4!} = 70.

Exercițiul 6

La o întâlnire, fiecare pereche de persoane dă mâna exact o dată. Dacă sunt în total 4545 de strângeri de mână, câte persoane sunt?
  1. A. 99
  2. B. 9.59.5
  3. C. 1010
  4. D. 4545
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1010

n(n−1)2=45⇒n(n−1)=90⇒n=10\dfrac{n(n-1)}{2} = 45 \Rightarrow n(n-1) = 90 \Rightarrow n = 10.
Încă 4 exerciții cu permutări, aranjamente și combinări în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 10-a