pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu continuitate — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu continuitate pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de continuitate.

Exercițiul 1

Funcția f(x)=x2+3x−1f(x) = x^2 + 3x - 1 este continuă pe:
  1. A. R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}
  2. B. R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}
  3. C. R\mathbb{R}
  4. D. doar pe [0,1][0, 1]
Rezolvare

Răspuns corect: C. R\mathbb{R}

Funcțiile polinomiale sunt continue peste tot pe R\mathbb{R}.

Exercițiul 2

Pentru ce valoare a∈Ra \in \mathbb{R} este f(x)={x2−1x−1,x≠1a,x=1f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \ne 1 \\ a, & x = 1 \end{cases} continuă în x=1x = 1?
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

x2−1x−1=x+1→2\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \to 2 când x→1x \to 1. Pentru continuitate, a=2a = 2.

Exercițiul 3

Pentru f(x)={2x+1,x≤1x2+a,x>1f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 1 \\ x^2 + a, & x > 1 \end{cases}, găsiți aa astfel încât ff să fie continuă în x=1x = 1:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

Stânga: 2⋅1+1=32 \cdot 1 + 1 = 3. Dreapta: 1+a1 + a. Egalând: a=2a = 2.

Exercițiul 4

Funcția f(x)=∣x∣xf(x) = \dfrac{|x|}{x} are în x=0x = 0:
  1. A. o discontinuitate eliminabilă
  2. B. o prelungire continuă
  3. C. o discontinuitate de salt
  4. D. o discontinuitate esențială
Rezolvare

Răspuns corect: C. o discontinuitate de salt

lim⁡x→0−f=−1\lim_{x \to 0^-}f = -1 și lim⁡x→0+f=1\lim_{x \to 0^+}f = 1 — limite finite dar inegale, deci o discontinuitate de salt.

Exercițiul 5

Găsiți a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât f(x)={sin⁡(2x)x,x≠0a,x=0f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(2x)}{x}, & x \ne 0 \\ a, & x = 0 \end{cases} să fie continuă în 00:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 22
  4. D. 12\dfrac{1}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

lim⁡x→0sin⁡2xx=2⋅lim⁡x→0sin⁡2x2x=2⋅1=2\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2. Deci a=2a = 2.

Exercițiul 6

Ecuația cos⁡x=x\cos x = x are cel puțin o soluție în:
  1. A. (−1,0)(-1, 0)
  2. B. (0,π/2)(0, \pi/2)
  3. C. (π,2π)(\pi, 2\pi)
  4. D. niciunde
Rezolvare

Răspuns corect: B. (0,π/2)(0, \pi/2)

g(0)=1>0g(0) = 1 > 0, g(π/2)=0−π/2<0g(\pi/2) = 0 - \pi/2 < 0. Deoarece gg este continuă, prin TVI există c∈(0,π/2)c \in (0, \pi/2) cu g(c)=0g(c) = 0, adică cos⁡c=c\cos c = c.
Încă 4 exerciții cu continuitate în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a