pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu determinanți — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 11 exerciții rezolvate cu determinanți pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Determinantul matricei A=(3412)A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 55
  4. D. 1010
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

det⁡A=3⋅2−4⋅1=2\det A = 3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 2.

Exercițiul 2

Determinantul matricei A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} este:
  1. A. −15-15
  2. B. −1-1
  3. C. 11
  4. D. 1515
Rezolvare

Răspuns corect: C. 11

Dezvoltăm după prima coloană: 1⋅(1⋅0−4⋅6)−0+5⋅(2⋅4−3⋅1)=−24+5⋅5=11 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 0 + 5 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) = -24 + 5 \cdot 5 = 1.

Exercițiul 3

Dacă det⁡(A)=5\det(A) = 5 pentru o matrice 3×33 \times 3, atunci det⁡(2A)\det(2A) este:
  1. A. 55
  2. B. 1010
  3. C. 4040
  4. D. 8080
Rezolvare

Răspuns corect: C. 4040

det⁡(2A)=23det⁡(A)=8⋅5=40\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \cdot 5 = 40.

Exercițiul 4

Pentru ce valoare m∈Rm \in \mathbb{R} este det⁡(m14m)=0\det \begin{pmatrix} m & 1 \\ 4 & m \end{pmatrix} = 0?
  1. A. {0}\{0\}
  2. B. {2}\{2\}
  3. C. {−2,2}\{-2, 2\}
  4. D. {4}\{4\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {−2,2}\{-2, 2\}

m2−4=0⇒m∈{−2,2}m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m \in \{-2, 2\}.

Exercițiul 5

Determinantul det⁡(1aa21bb21cc2)\det \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} este egal cu (Vandermonde):
  1. A. abcabc
  2. B. a+b+ca + b + c
  3. C. (b−a)(c−a)(c−b)(b - a)(c - a)(c - b)
  4. D. (a−b)(a−c)(b−c)(a - b)(a - c)(b - c)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (b−a)(c−a)(c−b)(b - a)(c - a)(c - b)

det⁡=(b−a)(c−a)(c−b)\det = (b - a)(c - a)(c - b). (Este zero dacă și numai dacă cel puțin două dintre a,b,ca, b, c sunt egale.)

Exercițiul 6

O matrice pătrată AA este inversabilă dacă și numai dacă:
  1. A. det⁡(A)=0\det(A) = 0
  2. B. AA este simetrică
  3. C. det⁡(A)≠0\det(A) \ne 0
  4. D. toate elementele sunt nenule
Rezolvare

Răspuns corect: C. det⁡(A)≠0\det(A) \ne 0

Inversabilitate ⟺ determinant nenul.
Încă 5 exerciții cu determinanți în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a