pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu ecuații matriceale — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu ecuații matriceale pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Inversa matricei A=(1002)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} este:
  1. A. (−100−2)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}
  2. B. (1002)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
  3. C. (1001/2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}
  4. D. (0120)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (1001/2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}

A−1=(1001/2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} — verificați că A⋅A−1=I2A \cdot A^{-1} = I_2.

Exercițiul 2

Rezolvați AX=BAX = B unde A=(2003)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} și B=(46)B = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}. Soluția XX este:
  1. A. (23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
  2. B. (22)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
  3. C. (46)\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}
  4. D. (818)\begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: B. (22)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}

A−1=(1/2001/3)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}. Deci X=(4/26/3)=(22)X = \begin{pmatrix} 4/2 \\ 6/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.

Exercițiul 3

Pentru A=(1002)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și B=(2468)B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}, rezolvați XA=BXA = B. Atunci XX este egal cu:
  1. A. (1234)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
  2. B. (2434)\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
  3. C. (2264)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}
  4. D. (2162)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (2264)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}

A−1=(1001/2)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}. Deci X=B⋅A−1=(2⋅14⋅1/26⋅18⋅1/2)=(2264)X = B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 4 \cdot 1/2 \\ 6 \cdot 1 & 8 \cdot 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}.

Exercițiul 4

Pentru ce valoare m∈Rm \in \mathbb{R} matricea A=(m23m+1)A = \begin{pmatrix} m & 2 \\ 3 & m + 1 \end{pmatrix} NU este inversabilă?
  1. A. {2}\{2\}
  2. B. {−2}\{-2\}
  3. C. {−3,2}\{-3, 2\}
  4. D. {0}\{0\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {−3,2}\{-3, 2\}

det⁡A=m(m+1)−6=m2+m−6=(m−2)(m+3)=0⇒m∈{−3,2}\det A = m(m + 1) - 6 = m^2 + m - 6 = (m - 2)(m + 3) = 0 \Rightarrow m \in \{-3, 2\}.

Exercițiul 5

Inversa matricei de rotație R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} este:
  1. A. R(θ)R(\theta)
  2. B. R(2θ)R(2\theta)
  3. C. R(−θ)R(-\theta)
  4. D. R(π−θ)R(\pi - \theta)
Rezolvare

Răspuns corect: C. R(−θ)R(-\theta)

R(θ)R(−θ)=I2R(\theta) R(-\theta) = I_2, deci R(θ)−1=R(−θ)R(\theta)^{-1} = R(-\theta).

Exercițiul 6

Pentru A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, matricea A2A^2 este egală cu:
  1. A. AA
  2. B. I2I_2
  3. C. (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
  4. D. (0110)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

A2=(0⋅0+1⋅00⋅1+1⋅00⋅0+0⋅00⋅1+0⋅0)=(0000)A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. (AA este nilpotentă.)
Încă 4 exerciții cu ecuații matriceale în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a