pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu permutări și grupuri simetrice — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu permutări și grupuri simetrice pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Numărul de permutări ale mulțimii {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} (adică ∣S4∣|S_4|) este:
  1. A. 44
  2. B. 1616
  3. C. 2424
  4. D. 256256
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2424

∣Sn∣=n!|S_n| = n!. Deci ∣S4∣=24|S_4| = 24.

Exercițiul 2

Pentru σ=(123231)\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} și τ=(123321)\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, compunerea σ∘τ\sigma \circ \tau trimite 11 în:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. nedefinit
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

τ(1)=3\tau(1) = 3, apoi σ(3)=1\sigma(3) = 1. Deci (σ∘τ)(1)=1(\sigma \circ \tau)(1) = 1.

Exercițiul 3

Numărul de inversiuni din permutarea σ=(3,1,2)\sigma = (3, 1, 2) (adică σ(1)=3,σ(2)=1,σ(3)=2\sigma(1) = 3, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 2) este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

Perechile: (1,2)(1,2): 3>13 > 1 ✓; (1,3)(1,3): 3>23 > 2 ✓; (2,3)(2,3): 1<21 < 2 ✗. Două inversiuni.

Exercițiul 4

Semnul ciclului de lungime 33: (1  2  3)∈S3(1\;2\;3) \in S_3 este:
  1. A. +1+1 (par)
  2. B. −1-1 (impar)
  3. C. 00
  4. D. depinde de SnS_n
Rezolvare

Răspuns corect: A. +1+1 (par)

Un ciclu de lungime 33 are semnul (−1)3−1=+1(-1)^{3-1} = +1. (Echivalent, el poate fi scris ca produs a două transpuneri: (1  2  3)=(1  3)(1  2)(1\;2\;3) = (1\;3)(1\;2).)

Exercițiul 5

Pentru n≥2n \ge 2, numărul de permutări pare din SnS_n (adică ∣An∣|A_n|) este:
  1. A. n!n!
  2. B. n!n\dfrac{n!}{n}
  3. C. n!2\dfrac{n!}{2}
  4. D. (n−1)!(n-1)!
Rezolvare

Răspuns corect: C. n!2\dfrac{n!}{2}

∣An∣=n!2|A_n| = \dfrac{n!}{2} (una dintre proprietățile standard ale grupului alternant).

Exercițiul 6

Pentru ciclul de lungime 44: σ=(1  2  3  4)\sigma = (1\;2\;3\;4), permutarea σ2\sigma^2 este egală cu:
  1. A. (1  2  3  4)(1\;2\;3\;4)
  2. B. permutarea identică
  3. C. (1  3)(2  4)(1\;3)(2\;4)
  4. D. (1  4)(2  3)(1\;4)(2\;3)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (1  3)(2  4)(1\;3)(2\;4)

σ\sigma: 1→2→3→4→11 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1. Deci σ2\sigma^2: 1→31 \to 3, 3→13 \to 1, 2→42 \to 4, 4→24 \to 2. Aceasta este (1  3)(2  4)(1\;3)(2\;4).
Încă 4 exerciții cu permutări și grupuri simetrice în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a