pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu șirul lui rolle — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu șirul lui rolle pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Teorema lui Rolle afirmă că pentru o funcție ff continuă pe [a,b][a, b] și derivabilă pe (a,b)(a, b) cu f(a)=f(b)f(a) = f(b), există c∈(a,b)c \in (a, b) astfel încât:
  1. A. f(c)=0f(c) = 0
  2. B. f(c)=f(a)f(c) = f(a)
  3. C. f′(c)=0f'(c) = 0
  4. D. f′′(c)=0f''(c) = 0
Rezolvare

Răspuns corect: C. f′(c)=0f'(c) = 0

Teorema lui Rolle: există c∈(a,b)c \in (a, b) cu f′(c)=0f'(c) = 0.

Exercițiul 2

Pentru f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x pe [−3,3][-\sqrt{3}, \sqrt{3}], valorile c∈(−3,3)c \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) unde f′(c)=0f'(c) = 0 sunt:
  1. A. numai c=0c = 0
  2. B. numai c=1c = 1
  3. C. c=±1c = \pm 1
  4. D. c=±3c = \pm \sqrt{3}
Rezolvare

Răspuns corect: C. c=±1c = \pm 1

f(±3)=0f(\pm\sqrt 3) = 0, deci teorema lui Rolle se aplică. f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1.

Exercițiul 3

Numărul de rădăcini reale distincte ale lui P(x)=x3−3x+1P(x) = x^3 - 3x + 1 este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 00
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

P(−∞)=−∞P(-\infty) = -\infty, P(−1)=−1+3+1=3>0P(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0, P(1)=1−3+1=−1<0P(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0, P(∞)=+∞P(\infty) = +\infty. Secvența de semne −, +, −, +-,\,+,\,-,\,+ arată trei schimbări de semn, deci trei rădăcini reale distincte.

Exercițiul 4

O funcție continuă f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb{R} are cel mult nn zerouri pe [a,b][a, b] dacă derivata sa are cel mult:
  1. A. n−2n - 2 zerouri pe (a,b)(a, b)
  2. B. nn zerouri pe (a,b)(a, b)
  3. C. n−1n - 1 zerouri pe (a,b)(a, b)
  4. D. niciun zero pe (a,b)(a, b)
Rezolvare

Răspuns corect: C. n−1n - 1 zerouri pe (a,b)(a, b)

Dacă ff are nn rădăcini distincte, între fiecare pereche consecutivă teorema lui Rolle garantează o rădăcină a lui f′f' — adică n−1n - 1 rădăcini ale lui f′f'. Deci dacă f′f' are cel mult n−1n - 1 rădăcini, ff are cel mult nn.

Exercițiul 5

Polinomul P(x)=x3+x+1P(x) = x^3 + x + 1 are exact:
  1. A. 11 rădăcină reală
  2. B. 22 rădăcini reale
  3. C. 33 rădăcini reale
  4. D. 00 rădăcini reale
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11 rădăcină reală

P′(x)>0P'(x) > 0 peste tot, deci PP este strict crescătoare pe R\mathbb{R}. Combinat cu lim⁡±∞P=±∞\lim_{\pm\infty}P = \pm\infty, PP are exact o rădăcină reală prin teorema valorilor intermediare.

Exercițiul 6

Pentru P(x)=x3−3x+mP(x) = x^3 - 3x + m, găsiți valorile lui mm pentru care PP are trei rădăcini reale distincte:
  1. A. m<0m < 0
  2. B. m=0m = 0
  3. C. −2<m<2-2 < m < 2
  4. D. m>2m > 2
Rezolvare

Răspuns corect: C. −2<m<2-2 < m < 2

P(−1)>0P(-1) > 0 și P(1)<0P(1) < 0: 2+m>02 + m > 0 și −2+m<0-2 + m < 0, rezultând −2<m<2-2 < m < 2.
Încă 4 exerciții cu șirul lui rolle în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a