pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu sisteme de ecuații liniare — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 11 exerciții rezolvate cu sisteme de ecuații liniare pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Soluția sistemului {2x+y=7x−y=2\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} este:
  1. A. (1,5)(1, 5)
  2. B. (2,3)(2, 3)
  3. C. (3,1)(3, 1)
  4. D. (4,−2)(4, -2)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (3,1)(3, 1)

Adunând: 3x=9⇒x=33x = 9 \Rightarrow x = 3. Apoi y=x−2=1y = x - 2 = 1. Soluție: (3,1)(3, 1).

Exercițiul 2

Soluția sistemului {x+y+z=6x−y=0y+z=5\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y = 0 \\ y + z = 5 \end{cases} este:
  1. A. (1,1,4)(1, 1, 4)
  2. B. (2,2,3)(2, 2, 3)
  3. C. (0,0,5)(0, 0, 5)
  4. D. (3,3,2)(3, 3, 2)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (1,1,4)(1, 1, 4)

x=yx = y. Atunci 2y+z=62y + z = 6 și y+z=5y + z = 5, deci y=1y = 1 și z=4z = 4. Soluție: (1,1,4)(1, 1, 4).

Exercițiul 3

Rezolvați {3x+2y=8x−y=1\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} prin regula lui Cramer. Valoarea lui xx este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. −2-2
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

x=det⁡(A1)det⁡(A)=−10−5=2x = \dfrac{\det(A_1)}{\det(A)} = \dfrac{-10}{-5} = 2.

Exercițiul 4

Sistemul {x+y=12x+2y=5\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases} are:
  1. A. o soluție unică
  2. B. nicio soluție
  3. C. infinit de multe soluții
  4. D. exact două soluții
Rezolvare

Răspuns corect: B. nicio soluție

Înmulțind prima ecuație cu 22: 2x+2y=2≠52x + 2y = 2 \ne 5. Deci sistemul este inconsistent — nicio soluție.

Exercițiul 5

Pentru {x+y+z=6x+2y+3z=14x+4y+9z=36\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ x + 4y + 9z = 36 \end{cases}, soluția este:
  1. A. (1,2,3)(1, 2, 3)
  2. B. (2,1,3)(2, 1, 3)
  3. C. (0,1,5)(0, 1, 5)
  4. D. (3,2,1)(3, 2, 1)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (1,2,3)(1, 2, 3)

L2 − L1: y+2z=8y + 2z = 8. L3 − L1: 3y+8z=303y + 8z = 30. Din prima: y=8−2zy = 8 - 2z. Substituind: 3(8−2z)+8z=30⇒24+2z=30⇒z=33(8 - 2z) + 8z = 30 \Rightarrow 24 + 2z = 30 \Rightarrow z = 3. Atunci y=2y = 2, x=1x = 1. Soluție: (1,2,3)(1, 2, 3).

Exercițiul 6

Prin teorema Kronecker–Capelli, un sistem are soluții dacă și numai dacă:
  1. A. det⁡(A)=0\det(A) = 0
  2. B. rang⁡(A)=rang⁡([A∣b])\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A | b])
  3. C. rang⁡(A)>rang⁡([A∣b])\operatorname{rang}(A) > \operatorname{rang}([A | b])
  4. D. sistemul este pătratic
Rezolvare

Răspuns corect: B. rang⁡(A)=rang⁡([A∣b])\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A | b])

Un sistem liniar este compatibil (are cel puțin o soluție) dacă și numai dacă rang⁡(A)=rang⁡([A∣b])\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}([A | b]) — rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse.
Încă 5 exerciții cu sisteme de ecuații liniare în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a