pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu aritmetică modulară (ℤₙ) — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu aritmetică modulară (ℤₙ) pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Mulțimea Z5\mathbb{Z}_5 are câte elemente?
  1. A. 00
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. infinit de multe
Rezolvare

Răspuns corect: C. 55

Zn={0^,1^,…,n−1^}\mathbb{Z}_n = \{\hat{0}, \hat{1}, \ldots, \widehat{n-1}\} are nn elemente. Deci Z5\mathbb{Z}_5 are 55.

Exercițiul 2

În Z8\mathbb{Z}_8, inversul aditiv al lui 3^\hat{3} este:
  1. A. 3^\hat{3}
  2. B. 0^\hat{0}
  3. C. 5^\hat{5}
  4. D. 8^\hat{8}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 5^\hat{5}

3+5=8≡0(mod8)3 + 5 = 8 \equiv 0 \pmod{8}, deci inversul este 5^\hat{5}.

Exercițiul 3

În Z5\mathbb{Z}_5, inversul multiplicativ al lui 2^\hat{2} este:
  1. A. 1^\hat{1}
  2. B. 2^\hat{2}
  3. C. 3^\hat{3}
  4. D. 4^\hat{4}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 3^\hat{3}

2⋅3=6≡1(mod5)2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}, deci inversul este 3^\hat{3}.

Exercițiul 4

În Z6\mathbb{Z}_6, care element NU are invers multiplicativ?
  1. A. 1^\hat{1}
  2. B. 5^\hat{5}
  3. C. 2^\hat{2}
  4. D. (toate sunt inversabile)
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2^\hat{2}

gcd⁡(2,6)=2≠1\gcd(2, 6) = 2 \ne 1, deci 2^\hat{2} nu are invers multiplicativ în Z6\mathbb{Z}_6. (1^\hat{1} și 5^\hat{5} sunt coprime cu 66 și sunt inversabile.)

Exercițiul 5

În Z7\mathbb{Z}_7, valoarea lui 3^ 6\hat{3}^{\,6} este:
  1. A. 1^\hat{1}
  2. B. 2^\hat{2}
  3. C. 3^\hat{3}
  4. D. 6^\hat{6}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 1^\hat{1}

Prin Fermat, 36≡1(mod7)3^{6} \equiv 1 \pmod 7, deci 3^ 6=1^\hat{3}^{\,6} = \hat{1}.

Exercițiul 6

(Zn,+,⋅)(\mathbb{Z}_n, +, \cdot) este un corp dacă și numai dacă:
  1. A. nn este par
  2. B. n≥5n \ge 5
  3. C. nn este prim
  4. D. n=n!n = n!
Rezolvare

Răspuns corect: C. nn este prim

Zn\mathbb{Z}_n este corp dacă și numai dacă orice element nenul este inversabil, dacă și numai dacă orice element de la 11 la n−1n - 1 este coprim cu nn, dacă și numai dacă nn este prim.
Încă 4 exerciții cu aritmetică modulară (ℤₙ) în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a