pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu grupuri — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu grupuri pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Un grup este o mulțime nevidă cu o lege de compoziție care satisface:
  1. A. doar asociativitatea
  2. B. doar existența elementului neutru
  3. C. asociativitate, element neutru și simetrice
  4. D. doar comutativitatea
Rezolvare

Răspuns corect: C. asociativitate, element neutru și simetrice

Axiomele de grup: asociativitate, element neutru, orice element are un simetric. Comutativitatea este axioma suplimentară pentru un grup abelian.

Exercițiul 2

Într-un grup (G,⋅)(G, \cdot) cu elementul neutru ee, ordinul unui element gg este:
  1. A. cel mai mare nn cu gn=eg^n = e
  2. B. ∣G∣|G|
  3. C. cel mai mic nn pozitiv cu gn=eg^n = e (sau ∞\infty dacă nu există)
  4. D. întotdeauna egal cu 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. cel mai mic nn pozitiv cu gn=eg^n = e (sau ∞\infty dacă nu există)

Ordinul lui gg este cel mai mic număr întreg pozitiv nn cu gn=eg^n = e (sau infinit dacă nu există niciun astfel de nn).

Exercițiul 3

În (Z6,+)(\mathbb{Z}_6, +), ordinul lui 2^\hat{2} este:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. 44
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: B. 33

2^,4^,6^=0^\hat{2}, \hat{4}, \hat{6} = \hat{0} — trei adunări, deci ordinul este 33.

Exercițiul 4

O submulțime nevidă HH a unui grup (G,⋅)(G, \cdot) este subgrup dacă și numai dacă:
  1. A. HH conține elementul neutru
  2. B. HH este închisă la înmulțire
  3. C. Pentru orice a,b∈Ha, b \in H, a⋅b−1∈Ha \cdot b^{-1} \in H
  4. D. ∣H∣=∣G∣|H| = |G|
Rezolvare

Răspuns corect: C. Pentru orice a,b∈Ha, b \in H, a⋅b−1∈Ha \cdot b^{-1} \in H

„Criteriul subgrupului în un pas": HH este subgrup dacă și numai dacă este nevidă și a,b∈H⇒ab−1∈Ha, b \in H \Rightarrow a b^{-1} \in H.

Exercițiul 5

Cel mai mic grup neabelian are ordinul:
  1. A. 33
  2. B. 44
  3. C. 66
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: C. 66

S3S_3 (sau echivalent D3D_3) are 66 elemente și este neabelian. Toate grupurile de ordin 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 sunt abeliene.

Exercițiul 6

Grupul Klein V4V_4 are proprietatea că:
  1. A. are un element de ordin 44
  2. B. este neabelian
  3. C. orice element non-neutru are ordinul 22
  4. D. este izomorf cu Z4\mathbb{Z}_4
Rezolvare

Răspuns corect: C. orice element non-neutru are ordinul 22

În V4V_4, orice element non-neutru are ordinul 22. (Aceasta îl distinge de Z4\mathbb{Z}_4, care are un element de ordin 44.)
Încă 4 exerciții cu grupuri în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a