Exerciții rezolvate cu inele de polinoame — clasa a 12-a

$\deg = 1 + 2 = 3$.

Împărțitorul are gradul $2$, deci restul are forma $R=aX+b$ și există $Q$ astfel încât $$P=(X+1)(X-3)\,Q+aX+b.$$ Rădăcinile împărțitorului sunt $-1$ și $3$. Înlocuind $X=-1$, termenul cu $Q$ se anulează, deci $P(-1)=-a+b$, iar pentru $X=3$ obținem $P(3)=3a+b$. Calculăm valorile: $$P(-1)=2-3\cdot(-1)+1+4+5=2+3+1+4+5=15,$$ $$P(3)=2\cdot81-3\cdot27+9-12+5=162-81+9-12+5=83.$$ Rezultă sistemul $$\begin{cases}-a+b=15\\[2pt]3a+b=83\end{cases}$$ Scăzând prima ecuație din a doua: $4a=68$, deci $a=17$, iar $b=15+a=32$. Restul căutat este $17X+32$.

Pentru $f=3X^3-6X^2+2X-4$, coeficientul dominant este $a=3$, deci relațiile lui Viète dau: $$x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-6}{3}=2,\qquad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{2}{3}.$$ Folosind identitatea $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$, obținem: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot\dfrac{2}{3}=4-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}.$$

Descompunem divizorul: $X^2+X-2=(X-1)(X+2)$, deci rădăcinile sale sunt $1$ și $-2$. Cum $X^2+X-2\mid P$, ambele trebuie să fie rădăcini ale lui $P$, adică $P(1)=0$ și $P(-2)=0$. Din $P(1)=0$: $1+m+n+2-8=0$, deci $m+n-5=0$, adică $m+n=5$. Din $P(-2)=0$: $16-8m+4n-4-8=0$, deci $-8m+4n+4=0$, adică $-2m+n+1=0$, de unde $n=2m-1$. Înlocuind $n=2m-1$ în $m+n=5$ obținem $m+(2m-1)=5$, deci $3m=6$, adică $m=2$, iar $n=2\cdot 2-1=3$. Prin urmare $m+n=2+3=5$.

Aplicăm împărțiri succesive începând cu polinomul de grad mai mare împărțit la cel de grad mai mic. Pasul 1: împărțim $P$ la $Q$. Cum $\dfrac{X^4}{X^3}=X$, iar $X\cdot Q=X^4-4X^3+X^2+6X$, scădem: $$P-X\cdot Q=3X^3-2X^2-7X-2.$$ Continuăm: $\dfrac{3X^3}{X^3}=3$, iar $3Q=3X^3-12X^2+3X+18$, deci $$3X^3-2X^2-7X-2-3Q=10X^2-10X-20.$$ Astfel $P=Q\,(X+3)+(10X^2-10X-20)$, cu restul $r_1=10X^2-10X-20$. Pasul 2: împărțim $Q$ la $r_1$. Putem da factor comun $10$: $r_1=10\,(X^2-X-2)$, iar la c.m.m.d.c. constantele nenule nu contează, deci împărțim $Q$ la $X^2-X-2$: $$Q=(X^2-X-2)(X-3)+0.$$ Restul este $0$, prin urmare ultimul rest nenul (adus la forma monică) este $$\boxed{X^2-X-2}.$$ Verificare prin factorizare: $P=(X-2)(X+1)(X^2+1)$ și $Q=(X-2)(X+1)(X-3)$, factorii comuni fiind $(X-2)(X+1)=X^2-X-2$.

Avem $P'=3X^2-3=3(X-1)(X+1)$, deci rădăcinile lui $P'$ sunt $X=1$ și $X=-1$. O rădăcină multiplă a lui $P$ trebuie să anuleze și $P'$, prin urmare poate fi doar $1$ sau $-1$. Impunem ca aceasta să fie și rădăcină a lui $P$: $$P(1)=1-3+m=m-2=0\ \Rightarrow\ m=2,$$ $$P(-1)=-1+3+m=m+2=0\ \Rightarrow\ m=-2.$$ Pentru $m=2$ obținem $P=(X-1)^2(X+2)$, iar pentru $m=-2$ obținem $P=(X+1)^2(X-2)$, deci în ambele cazuri rădăcina este într-adevăr dublă. Valorile căutate sunt $m\in\{-2,\,2\}$, iar produsul lor este $$(-2)\cdot 2=-4.$$