pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu inele și corpuri — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu inele și corpuri pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Un inel este o mulțime nevidă cu două operații ++ și ⋅\cdot astfel încât:
  1. A. (R,+)(R, +) este un grup; (R,⋅)(R, \cdot) este un grup
  2. B. (R,+)(R, +) este un grup; ⋅\cdot este asociativă
  3. C. (R,+)(R, +) este un grup abelian; ⋅\cdot este asociativă; ⋅\cdot este distributivă față de ++
  4. D. (R,+)(R, +) este un monoid; ⋅\cdot este comutativă
Rezolvare

Răspuns corect: C. (R,+)(R, +) este un grup abelian; ⋅\cdot este asociativă; ⋅\cdot este distributivă față de ++

Un inel: grup abelian față de ++, ⋅\cdot asociativă și distributivitate lui ⋅\cdot față de ++. (Unele definiții cer și existența elementului neutru multiplicativ.)

Exercițiul 2

(Z,+,⋅)(\mathbb{Z}, +, \cdot) are divizori ai lui zero?
  1. A. da, 2⋅0=02 \cdot 0 = 0
  2. B. nu, Z\mathbb{Z} este domeniu de integritate
  3. C. numai pe numerele întregi negative
  4. D. numai multiplii lui 66
Rezolvare

Răspuns corect: B. nu, Z\mathbb{Z} este domeniu de integritate

În Z\mathbb{Z}, produsul a două numere întregi nenule este nenul — deci Z\mathbb{Z} nu are divizori ai lui zero. Este domeniu de integritate.

Exercițiul 3

Un corp este un inel comutativ cu element neutru în care:
  1. A. nu există divizori ai lui zero
  2. B. orice element are inversă
  3. C. orice element nenul are inversă multiplicativă
  4. D. (R,+)≅(R,⋅)(R, +) \cong (R, \cdot)
Rezolvare

Răspuns corect: C. orice element nenul are inversă multiplicativă

Corp: inel comutativ cu element neutru astfel încât orice element nenul are inversă multiplicativă.

Exercițiul 4

(Q,+,⋅)(\mathbb{Q}, +, \cdot) este:
  1. A. un inel, dar nu un corp
  2. B. un corp, dar nu un inel
  3. C. un corp
  4. D. numai un grup față de ++
Rezolvare

Răspuns corect: C. un corp

Q\mathbb{Q} satisface toate axiomele unui corp — orice rațional nenul are un invers rațional. Este corp.

Exercițiul 5

Z6\mathbb{Z}_6 NU este corp deoarece:
  1. A. nu este inel
  2. B. nu are element neutru
  3. C. are divizori ai lui zero (de exemplu, 2^⋅3^=0^\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0})
  4. D. este finit
Rezolvare

Răspuns corect: C. are divizori ai lui zero (de exemplu, 2^⋅3^=0^\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0})

2^⋅3^=6^=0^\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0} cu 2^,3^≠0^\hat{2}, \hat{3} \ne \hat{0} — divizori ai lui zero. Un corp nu are divizori ai lui zero, deci Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp. (Echivalent, 66 este compus.)

Exercițiul 6

(M2(R),+,⋅)(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) este:
  1. A. un corp
  2. B. un inel comutativ
  3. C. un inel necomutativ cu element neutru
  4. D. nu este inel
Rezolvare

Răspuns corect: C. un inel necomutativ cu element neutru

Matricele formează un inel (cu matricea nulă și matricea unitate), dar înmulțirea este necomutativă pentru n≥2n \ge 2. Este un inel necomutativ cu element neutru.
Încă 4 exerciții cu inele și corpuri în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a