pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu legi de compoziție — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu legi de compoziție pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

O lege de compoziție pe o mulțime MM este o funcție:
  1. A. M→MM \to M
  2. B. M→M×MM \to M \times M
  3. C. M×M→MM \times M \to M
  4. D. M→RM \to \mathbb{R}
Rezolvare

Răspuns corect: C. M×M→MM \times M \to M

O lege de compoziție asociază două elemente din MM pentru a produce un al treilea element din MM: ∗:M×M→M* : M \times M \to M.

Exercițiul 2

Pentru operația x∗y=x+y−3x * y = x + y - 3 pe R\mathbb{R}, elementul neutru este:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 33
  4. D. −3-3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

x+e−3=x⇒e=3x + e - 3 = x \Rightarrow e = 3.

Exercițiul 3

Pentru x∗y=x+y−3x * y = x + y - 3 pe R\mathbb{R} (cu elementul neutru e=3e = 3), elementul simetric al lui 55 este:
  1. A. 11
  2. B. −5-5
  3. C. −2-2
  4. D. 55
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

5+y−3=3⇒y=15 + y - 3 = 3 \Rightarrow y = 1.

Exercițiul 4

Pe R\mathbb{R}, operația x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy este:
  1. A. asociativă
  2. B. neasociativă
  3. C. comutativă dar neasociativă
  4. D. nici comutativă, nici asociativă
Rezolvare

Răspuns corect: A. asociativă

(x∗y)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. Prin simetrie, x∗(y∗z)x * (y * z) dă aceeași expresie. Deci legea este asociativă.

Exercițiul 5

Pe mulțimea putere P(X)\mathcal{P}(X), diferența simetrică A△B=(A∖B)∪(B∖A)A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) are elementul neutru:
  1. A. ∅\emptyset
  2. B. XX
  3. C. {x}\{x\} pentru un x∈Xx \in X
  4. D. nu există element neutru
Rezolvare

Răspuns corect: A. ∅\emptyset

A△∅=AA \triangle \emptyset = A, deci ∅\emptyset este elementul neutru.

Exercițiul 6

Pe P(X)\mathcal{P}(X) cu diferența simetrică, elementul simetric al oricărei mulțimi AA este:
  1. A. AA însuși
  2. B. X∖AX \setminus A
  3. C. ∅\emptyset
  4. D. XX
Rezolvare

Răspuns corect: A. AA însuși

Fiecare element este propriul său simetric: A△A=∅A \triangle A = \emptyset.
Încă 4 exerciții cu legi de compoziție în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a