pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu semigrupuri și monoizi — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu semigrupuri și monoizi pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Un semigrup este o mulțime nevidă cu o lege de compoziție care este:
  1. A. comutativă
  2. B. asociativă
  3. C. ambele
  4. D. niciuna
Rezolvare

Răspuns corect: B. asociativă

Un semigrup este o mulțime cu o lege de compoziție asociativă.

Exercițiul 2

Mulțimea tuturor cuvintelor finite peste un alfabet Σ\Sigma, cu operația de concatenare, este:
  1. A. un grup
  2. B. un monoid (monoid liber)
  3. C. un semigrup, dar nu un monoid
  4. D. nici măcar un semigrup
Rezolvare

Răspuns corect: B. un monoid (monoid liber)

Concatenarea este asociativă; cuvântul vid ε\varepsilon este elementul neutru. Nu există inverse (nu se pot „șterge" litere), deci este un monoid (nu un grup). Este monoidul liber pe Σ\Sigma.

Exercițiul 3

(Mn(R),⋅)(M_n(\mathbb{R}), \cdot) — matricele pătrate față de înmulțire — este:
  1. A. un grup
  2. B. un monoid (dar nu un grup)
  3. C. un semigrup, dar nu un monoid
  4. D. neasociativ
Rezolvare

Răspuns corect: B. un monoid (dar nu un grup)

Înmulțirea matricelor este asociativă. Matricea unitate InI_n este elementul neutru. Dar matricea nulă nu are inversă, deci nu orice element este inversabil — este un monoid, nu un grup.

Exercițiul 4

((0,+∞),⋅)((0, +\infty), \cdot) — numerele reale pozitive față de înmulțire — este:
  1. A. un grup
  2. B. un monoid, dar nu un grup
  3. C. un semigrup, dar nu un monoid
  4. D. neasociativ
Rezolvare

Răspuns corect: A. un grup

Asociativ ✓, element neutru 11 ✓, orice element are inversă ✓. Deci este un grup (comutativ).

Exercițiul 5

(Z,⋅)(\mathbb{Z}, \cdot) — numerele întregi față de înmulțire — este:
  1. A. un grup
  2. B. un monoid (dar nu un grup)
  3. C. un semigrup, dar nu un monoid
  4. D. neasociativ
Rezolvare

Răspuns corect: B. un monoid (dar nu un grup)

Asociativ ✓, element neutru 11 ✓. Dar 22 nu are inversă multiplicativă în Z\mathbb{Z}. Deci este un monoid, nu un grup.

Exercițiul 6

Într-un monoid (M,∗)(M, *) cu legea simplificării, dacă a∗b=a∗ca * b = a * c, atunci:
  1. A. b=eb = e (elementul neutru)
  2. B. aa este inversabil
  3. C. b=cb = c
  4. D. b∗c=eb * c = e
Rezolvare

Răspuns corect: C. b=cb = c

Legea simplificării afirmă: a∗b=a∗c⇒b=ca * b = a * c \Rightarrow b = c. (Chiar și fără existența inverselor, această proprietate poate sau nu poate fi satisfăcută; într-un grup, ea este întotdeauna satisfăcută.)
Încă 4 exerciții cu semigrupuri și monoizi în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a