pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu morfisme — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu morfisme pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Un morfism de grupuri φ:(G,⋅)→(H,∗)\varphi: (G, \cdot) \to (H, *) este o funcție astfel încât pentru orice a,b∈Ga, b \in G:
  1. A. φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  2. B. φ(ab)=a∗b\varphi(ab) = a * b
  3. C. φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)
  4. D. φ\varphi este bijectivă
Rezolvare

Răspuns corect: C. φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)

Un morfism păstrează operația: φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b).

Exercițiul 2

Pentru un morfism de grupuri φ:G→H\varphi: G \to H și a∈Ga \in G:
  1. A. φ(a−1)=φ(a)\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)
  2. B. φ(a−1)=e\varphi(a^{-1}) = e
  3. C. φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}
  4. D. φ(a−1)=−φ(a)\varphi(a^{-1}) = -\varphi(a)
Rezolvare

Răspuns corect: C. φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}

Aplicăm φ\varphi la a⋅a−1=ea \cdot a^{-1} = e: φ(a)φ(a−1)=eH\varphi(a)\varphi(a^{-1}) = e_H, deci φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}.

Exercițiul 3

Aplicația φ:(Z,+)→(Zn,+)\varphi: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +) definită prin φ(k)=k^\varphi(k) = \hat{k} este:
  1. A. nu este morfism
  2. B. un morfism, injectiv, nesurjectiv
  3. C. un morfism surjectiv (neinjectiv)
  4. D. un izomorfism
Rezolvare

Răspuns corect: C. un morfism surjectiv (neinjectiv)

φ\varphi este surjectivă (orice k^\hat{k} are kk ca preimage) și morfism. Dar φ(0)=φ(n)=0^\varphi(0) = \varphi(n) = \hat{0}, deci nu este injectivă.

Exercițiul 4

Nucleul unui morfism de grupuri φ:G→H\varphi: G \to H este:
  1. A. {a∈G∣φ(a)=a}\{a \in G \mid \varphi(a) = a\}
  2. B. {φ(a)∣a∈G}\{\varphi(a) \mid a \in G\}
  3. C. {a∈G∣φ(a)=eH}\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}
  4. D. {a∈G∣a=eG}\{a \in G \mid a = e_G\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {a∈G∣φ(a)=eH}\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}

ker⁡φ=φ−1({eH})={a∈G∣φ(a)=eH}\ker \varphi = \varphi^{-1}(\{e_H\}) = \{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}.

Exercițiul 5

Aplicația φ:(R,+)→((0,∞),⋅)\varphi: (\mathbb{R}, +) \to ((0, \infty), \cdot) definită prin φ(x)=ex\varphi(x) = e^x este:
  1. A. nu este morfism
  2. B. un morfism neinjectiv
  3. C. injectiv dar nesurjectiv
  4. D. un izomorfism
Rezolvare

Răspuns corect: D. un izomorfism

ea+b=eaebe^{a + b} = e^a e^b ✓ (morfism). exe^x este strict crescătoare (injectivă) și surjectivă pe (0,∞)(0, \infty). Deci este un izomorfism. (Inversa: ln⁡\ln.)

Exercițiul 6

Un morfism de inele φ:R→S\varphi: R \to S trebuie să satisfacă:
  1. A. doar φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  2. B. doar φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)
  3. C. atât φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b), cât și φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)
  4. D. φ\varphi este bijectivă
Rezolvare

Răspuns corect: C. atât φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b), cât și φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)

Un morfism de inele păstrează ambele operații: adunarea ȘI înmulțirea.
Încă 4 exerciții cu morfisme în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a