pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?

Clasa a 12-a

Exerciții rezolvate cu morfisme — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu morfisme pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Un morfism de grupuri φ:(G,⋅)→(H,∗)\varphi: (G, \cdot) \to (H, *) este o funcție astfel încât pentru orice a,b∈Ga, b \in G:
  1. A. φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  2. B. φ(ab)=a∗b\varphi(ab) = a * b
  3. C. φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)
  4. D. φ\varphi este bijectivă
Rezolvare

Răspuns corect: C. φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)

Un morfism păstrează operația: φ(a⋅b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b).

Exercițiul 2

Pentru un morfism de grupuri φ:G→H\varphi: G \to H și a∈Ga \in G:
  1. A. φ(a−1)=φ(a)\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)
  2. B. φ(a−1)=e\varphi(a^{-1}) = e
  3. C. φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}
  4. D. φ(a−1)=−φ(a)\varphi(a^{-1}) = -\varphi(a)
Rezolvare

Răspuns corect: C. φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}

Aplicăm φ\varphi la a⋅a−1=ea \cdot a^{-1} = e: φ(a)φ(a−1)=eH\varphi(a)\varphi(a^{-1}) = e_H, deci φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}.

Exercițiul 3

Aplicația φ:(Z,+)→(Zn,+)\varphi: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +) definită prin φ(k)=k^\varphi(k) = \hat{k} este:
  1. A. nu este morfism
  2. B. un morfism, injectiv, nesurjectiv
  3. C. un morfism surjectiv (neinjectiv)
  4. D. un izomorfism
Rezolvare

Răspuns corect: C. un morfism surjectiv (neinjectiv)

φ\varphi este surjectivă (orice k^\hat{k} are kk ca preimage) și morfism. Dar φ(0)=φ(n)=0^\varphi(0) = \varphi(n) = \hat{0}, deci nu este injectivă.

Exercițiul 4

Nucleul unui morfism de grupuri φ:G→H\varphi: G \to H este:
  1. A. {a∈G∣φ(a)=a}\{a \in G \mid \varphi(a) = a\}
  2. B. {φ(a)∣a∈G}\{\varphi(a) \mid a \in G\}
  3. C. {a∈G∣φ(a)=eH}\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}
  4. D. {a∈G∣a=eG}\{a \in G \mid a = e_G\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {a∈G∣φ(a)=eH}\{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}

ker⁡φ=φ−1({eH})={a∈G∣φ(a)=eH}\ker \varphi = \varphi^{-1}(\{e_H\}) = \{a \in G \mid \varphi(a) = e_H\}.

Exercițiul 5

Aplicația φ:(R,+)→((0,∞),⋅)\varphi: (\mathbb{R}, +) \to ((0, \infty), \cdot) definită prin φ(x)=ex\varphi(x) = e^x este:
  1. A. nu este morfism
  2. B. un morfism neinjectiv
  3. C. injectiv dar nesurjectiv
  4. D. un izomorfism
Rezolvare

Răspuns corect: D. un izomorfism

ea+b=eaebe^{a + b} = e^a e^b ✓ (morfism). exe^x este strict crescătoare (injectivă) și surjectivă pe (0,∞)(0, \infty). Deci este un izomorfism. (Inversa: ln⁡\ln.)

Exercițiul 6

Un morfism de inele φ:R→S\varphi: R \to S trebuie să satisfacă:
  1. A. doar φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  2. B. doar φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)
  3. C. atât φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b), cât și φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)
  4. D. φ\varphi este bijectivă
Rezolvare

Răspuns corect: C. atât φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b), cât și φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)

Un morfism de inele păstrează ambele operații: adunarea ȘI înmulțirea.
Încă 4 exerciții cu morfisme în aplicațieProbleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — nu pentru al manualului.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 12-a