pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?

Clasa a 8-a

Exerciții rezolvate cu ecuații de gradul ii — clasa a 8-a

Pe această pagină găsești 11 exerciții rezolvate cu ecuații de gradul ii pentru clasa a 8-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Rezolvați ecuația x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0.
  1. A. {2,6}\{2, 6\}
  2. B. {3,4}\{3, 4\}
  3. C. {−3,−4}\{-3, -4\}
  4. D. {1,12}\{1, 12\}
Rezolvare

Răspuns corect: B. {3,4}\{3, 4\}

Numerele 33 și 44 au suma 77 și produsul 1212, deci x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2-7x+12 = (x-3)(x-4), iar soluțiile ecuației sunt x∈{3,4}x \in \{3, 4\}.

Exercițiul 2

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x2−7x+12=0x^2-7x+12=0 este:
  1. A. {3,4}\{3,4\}
  2. B. {−3,−4}\{-3,-4\}
  3. C. {−3,4}\{-3,4\}
  4. D. {1,12}\{1,12\}
  5. E. {−4,3}\{-4,3\}
Rezolvare

Răspuns corect: A. {3,4}\{3,4\}

Cu a=1a=1, b=−7b=-7, c=12c=12 avem Δ=(−7)2−4⋅1⋅12=49−48=1\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1. x1,2=7±12=7±12.x_{1,2}=\dfrac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{7\pm 1}{2}. Obținem x1=62=3x_1=\dfrac{6}{2}=3 și x2=82=4x_2=\dfrac{8}{2}=4, deci {3,4}.\{3,4\}.

Exercițiul 3

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x2−9=0x^2-9=0 este:
  1. A. {−3,3}\{-3,3\}
  2. B. {3}\{3\}
  3. C. {9}\{9\}
  4. D. {−9,9}\{-9,9\}
  5. E. {−3}\{-3\}
Rezolvare

Răspuns corect: A. {−3,3}\{-3,3\}

Trecem termenul liber în membrul drept: x2=9x^2=9. x=±9=±3.x=\pm\sqrt{9}=\pm 3. Deci mulțimea soluțiilor este {−3,3}.\{-3,3\}.

Exercițiul 4

Pentru rădăcinile x1x_1 și x2x_2 ale ecuației x2−10x+21=0x^2-10x+21=0, valoarea sumei x12+x22x_1^2+x_2^2 este:
  1. A. 5858
  2. B. 100100
  3. C. 142142
  4. D. 7979
  5. E. 121121
Rezolvare

Răspuns corect: A. 5858

Din Viète: x1+x2=10x_1+x_2=10 și x1x2=21x_1x_2=21. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=102−2⋅21.x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10^2-2\cdot 21. =100−42=58.=100-42=58.

Exercițiul 5

Pentru rădăcinile x1x_1 și x2x_2 ale ecuației x2−8x+15=0x^2-8x+15=0, valoarea sumei 1x1+1x2\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} este:
  1. A. 815\dfrac{8}{15}
  2. B. 158\dfrac{15}{8}
  3. C. −815-\dfrac{8}{15}
  4. D. −158-\dfrac{15}{8}
  5. E. 115\dfrac{1}{15}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 815\dfrac{8}{15}

Din Viète: x1+x2=8x_1+x_2=8 și x1x2=15x_1x_2=15. Aducem suma fracțiilor la același numitor: 1x1+1x2=x1+x2x1x2=815.\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{8}{15}.

Exercițiul 6

Știind că una dintre rădăcinile ecuației x2−5x+m=0x^2-5x+m=0 este 44, cealaltă rădăcină este:
  1. A. 11
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. −1-1
  5. E. 99
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

Notăm rădăcinile x1=4x_1=4 și x2x_2. Din relația sumei, x1+x2=5 ⇒ 4+x2=5.x_1+x_2=5\ \Rightarrow\ 4+x_2=5. x2=5−4=1.x_2=5-4=1.
Încă 5 exerciții cu ecuații de gradul ii în aplicațieIntră în cont și continui direct de la ecuații de gradul ii — nu de la zero.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 8-a