pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?

Clasa a 8-a

Exerciții rezolvate cu geometrie în spațiu — clasa a 8-a

Pe această pagină găsești 21 exerciții rezolvate cu geometrie în spațiu pentru clasa a 8-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de Evaluare Națională. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are dimensiunile AB=3 cmAB=3\ \text{cm}, AD=4 cmAD=4\ \text{cm} și AA′=12 cmAA'=12\ \text{cm}. Care este lungimea diagonalei spațiale AC′AC'?
  1. A. 13 cm13\ \text{cm}
  2. B. 5 cm5\ \text{cm}
  3. C. 169 cm169\ \text{cm}
  4. D. 19 cm19\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 13 cm13\ \text{cm}

D=32+42+122=9+16+144=169=13 cm.D = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}.

Exercițiul 2

Un trunchi de con are raza bazei mari r1=6 cmr_1=6\ \text{cm}, raza bazei mici r2=3 cmr_2=3\ \text{cm} și înălțimea h=4 cmh=4\ \text{cm}. Care este volumul trunchiului de con?
  1. A. 60π cm360\pi\ \text{cm}^3
  2. B. 84π cm384\pi\ \text{cm}^3
  3. C. 96π cm396\pi\ \text{cm}^3
  4. D. 108π cm3108\pi\ \text{cm}^3
Rezolvare

Răspuns corect: B. 84π cm384\pi\ \text{cm}^3

V=π⋅43(62+6⋅3+32)=4π3⋅63=84π cm3V=\dfrac{\pi\cdot4}{3}\left(6^2+6\cdot3+3^2\right)=\dfrac{4\pi}{3}\cdot63=84\pi\ \text{cm}^3.

Exercițiul 3

Cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are muchia de 6 cm6\ \text{cm}, iar MM este mijlocul muchiei B′C′B'C'. Care este distanța de la vârful AA la punctul MM?
  1. A. 9 cm9\ \text{cm}
  2. B. 62 cm6\sqrt{2}\ \text{cm}
  3. C. 35 cm3\sqrt{5}\ \text{cm}
  4. D. 63 cm6\sqrt{3}\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 9 cm9\ \text{cm}

Diagonala feței ABB′A′ABB'A' este AB′=62 cmAB' = 6\sqrt{2}\ \text{cm}, iar B′MB'M este jumătate din muchia B′C′B'C', deci B′M=3 cmB'M = 3\ \text{cm}. Deoarece B′C′⊥B'C' \perp planul (ABB′A′)(ABB'A'), triunghiul AB′MAB'M este dreptunghic în B′B': AM2=AB′2+B′M2=(62)2+32=72+9=81,AM^2 = AB'^2 + B'M^2 = \left(6\sqrt{2}\right)^2 + 3^2 = 72 + 9 = 81, de unde AM=9 cmAM = 9\ \text{cm}.

Exercițiul 4

Cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are muchia de 6textcm6\\ \\text{cm}. Care este distanța de la vârful AA la dreapta BD′BD'?
  1. A. 26 cm2\sqrt{6}\ \text{cm}
  2. B. 6 cm6\ \text{cm}
  3. C. 62 cm6\sqrt{2}\ \text{cm}
  4. D. 63 cm6\sqrt{3}\ \text{cm}
  5. E. 36 cm3\sqrt{6}\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 26 cm2\sqrt{6}\ \text{cm}

Muchia ABAB este perpendiculară pe fața ADD′A′ADD'A', deci ABperpAD′AB\\perp AD': triunghiul ABD′ABD' este dreptunghic în AA. Catetele sunt AB=6textcmAB=6\\ \\text{cm} și AD′=6sqrt2textcmAD'=6\\sqrt{2}\\ \\text{cm} (diagonala feței ADD′A′ADD'A'), iar ipotenuza este BD′=6sqrt3textcmBD'=6\\sqrt{3}\\ \\text{cm} (diagonala cubului). Distanța de la AA la dreapta BD′BD' este înălțimea din AA pe ipotenuză: d=dfracABcdotAD′BD′=dfrac6cdot6sqrt26sqrt3=dfrac6sqrt2sqrt3=2sqrt6textcm.d=\\dfrac{AB\\cdot AD'}{BD'}=\\dfrac{6\\cdot 6\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}}=\\dfrac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}=2\\sqrt{6}\\ \\text{cm}.

Exercițiul 5

Cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' are muchia 6 cm6\ \text{cm}. Care este distanța de la vârful AA la planul (BDD′B′)(BDD'B')?
  1. A. 32 cm3\sqrt{2}\ \text{cm}
  2. B. 62 cm6\sqrt{2}\ \text{cm}
  3. C. 3 cm3\ \text{cm}
  4. D. 33 cm3\sqrt{3}\ \text{cm}
Rezolvare

Răspuns corect: A. 32 cm3\sqrt{2}\ \text{cm}

Planul (BDD′B′)(BDD'B') este perpendicular pe baza ABCDABCD și conține diagonala BDBD, deci distanța căutată este distanța de la AA la dreapta BDBD, calculată în pătrat. Diagonala pătratului: BD=62 cm.BD = 6\sqrt{2}\ \text{cm}. Aria triunghiului ABDABD este jumătate din aria pătratului: AABD=622=18 cm2A_{ABD} = \dfrac{6^2}{2} = 18\ \text{cm}^2. Distanța de la AA la BDBD: d=2⋅AABDBD=3662=32 cm.d = \dfrac{2 \cdot A_{ABD}}{BD} = \dfrac{36}{6\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}.

Exercițiul 6

O piramidă patrulateră regulată VABCDVABCD are baza un pătrat cu latura de 8 cm8\ \text{cm}, iar apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale) este de 8 cm8\ \text{cm}. Care este măsura unghiului diedru dintre o față laterală și planul bazei?
  1. A. 60°60°
  2. B. 30°30°
  3. C. 45°45°
  4. D. 90°90°
Rezolvare

Răspuns corect: A. 60°60°

Fie OO proiecția vârfului VV pe planul bazei (centrul pătratului ABCDABCD) și MM mijlocul laturii ABAB. Atunci OM⊥ABOM \perp AB, cu OM=a2=4 cmOM = \dfrac{a}{2} = 4\ \text{cm}, iar din teorema celor trei perpendiculare (VO⊥VO \perp baza, OM⊥ABOM \perp AB) rezultă VM⊥ABVM \perp AB, deci unghiul diedru căutat este ∠VMO\angle VMO. În triunghiul dreptunghic VOMVOM (drept în OO): VO=VM2−OM2=82−42=48=43 cm.VO = \sqrt{VM^2 - OM^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt3\ \text{cm}. tan⁡(∠VMO)=VOOM=434=3 ⇒ ∠VMO=60°.\tan(\angle VMO) = \dfrac{VO}{OM} = \dfrac{4\sqrt3}{4} = \sqrt3 \ \Rightarrow\ \angle VMO = 60°.
Încă 15 exerciții cu geometrie în spațiu în aplicațieIntră în cont și continui direct de la geometrie în spațiu — nu de la zero.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 8-a