pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu logică și inducție — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu logică și inducție pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Fie pp: „orice număr prim este impar" și qq: „3+4=73 + 4 = 7". Valoarea de adevăr a lui p∧qp \wedge q este:
  1. A. Adevărat
  2. B. Fals
  3. C. Nu se poate determina
  4. D. Atât adevărat, cât și fals
Rezolvare

Răspuns corect: B. Fals

pp este falsă (deoarece 22 este prim și par), qq este adevărată. Din tabelul de adevăr al conjuncției, fals∧adeva˘rat=fals\text{fals} \wedge \text{adevărat} = \text{fals}.

Exercițiul 2

Negația propoziției „pentru orice număr real xx, x2+1>0x^2 + 1 > 0" este:
  1. A. Pentru orice xx real, x2+1≤0x^2 + 1 \le 0
  2. B. Există un xx real astfel încât x2+1≤0x^2 + 1 \le 0
  3. C. Există un xx real astfel încât x2+1>0x^2 + 1 > 0
  4. D. Pentru orice xx real, x2+1<0x^2 + 1 < 0
Rezolvare

Răspuns corect: B. Există un xx real astfel încât x2+1≤0x^2 + 1 \le 0

Negația lui ∀\forall este ∃\exists; negația lui >> este ≤\le. Deci negația este ∃x∈R: x2+1≤0\exists x \in \mathbb{R}:\ x^2 + 1 \le 0. (Această propoziție este ea însăși falsă, dar întrebarea cerea negația, nu valoarea ei de adevăr.)

Exercițiul 3

Care dintre următoarele afirmații este echivalentă logic cu „dacă n2n^2 este par, atunci nn este par"?
  1. A. Dacă nn este par, atunci n2n^2 este par
  2. B. Dacă nn este impar, atunci n2n^2 este impar
  3. C. Dacă n2n^2 este impar, atunci nn este par
  4. D. nn este par dacă și numai dacă n2n^2 este impar
Rezolvare

Răspuns corect: B. Dacă nn este impar, atunci n2n^2 este impar

Contrapoziția lui „n2n^2 par ⇒\Rightarrow nn par" este „nn impar ⇒\Rightarrow n2n^2 impar". O propoziție și contrapoziția sa au întotdeauna aceeași valoare de adevăr.

Exercițiul 4

Presupunem că 1+2+⋯+k=k(k+1)21 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2} (ipoteza de inducție). Pentru a finaliza pasul inductiv trebuie să arătăm că 1+2+⋯+(k+1)1 + 2 + \cdots + (k+1) este egal cu:
  1. A. (k+1)(k+2)2\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}
  2. B. k(k+1)2+1\dfrac{k(k+1)}{2} + 1
  3. C. (k+1)22\dfrac{(k+1)^2}{2}
  4. D. (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (k+1)(k+2)2\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}

Formula țintă pentru n=k+1n = k+1 este (k+1)((k+1)+1)2=(k+1)(k+2)2\dfrac{(k+1)\big((k+1)+1\big)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}. (Și într-adevăr k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2\dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}, finalizând pasul.)

Exercițiul 5

Prin inducție se poate demonstra că n3−nn^3 - n este divizibil cu 66 pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}. Calculați 103−106\dfrac{10^3 - 10}{6}.
  1. A. 165165
  2. B. 166166
  3. C. 100100
  4. D. 200200
Rezolvare

Răspuns corect: A. 165165

103−10=99010^3 - 10 = 990, și 990/6=165990 / 6 = 165. Demonstrația prin inducție factorizează n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n-1)n(n+1), care este produsul a trei întregi consecutivi și este prin urmare divizibil atât cu 22, cât și cu 33, deci cu 66.

Exercițiul 6

Demonstrați prin inducție că 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} pentru orice n≥1n \ge 1. Folosind aceasta, calculați 1⋅2+2⋅3+3⋅4+4⋅51 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5.
  1. A. 3030
  2. B. 4040
  3. C. 5050
  4. D. 6060
Rezolvare

Răspuns corect: B. 4040

4⋅5⋅63=1203=40\dfrac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3} = \dfrac{120}{3} = 40. (Direct: 2+6+12+20=402 + 6 + 12 + 20 = 40.)
Încă 4 exerciții cu logică și inducție în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 9-a