pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu funcții — proprietăți generale — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu funcții — proprietăți generale pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Domeniul maximal al funcției f(x)=x−2f(x) = \sqrt{x - 2} este:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,2](-\infty, 2]
  3. C. [2,+∞)[2, +\infty)
  4. D. (2,+∞)(2, +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: C. [2,+∞)[2, +\infty)

Avem nevoie de x−2≥0x - 2 \ge 0, adică x≥2x \ge 2. Domeniul este [2,+∞)[2, +\infty).

Exercițiul 2

Considerați f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2f(x) = x^2. Care afirmație este corectă?
  1. A. ff nu este nici injectivă, nici surjectivă
  2. B. ff este injectivă dar nu surjectivă
  3. C. ff este surjectivă dar nu injectivă
  4. D. ff este bijectivă
Rezolvare

Răspuns corect: A. ff nu este nici injectivă, nici surjectivă

f(−1)=1=f(1)f(-1) = 1 = f(1), deci ff nu este injectivă. Valoarea −1-1 nu are niciun preimage real (deoarece x2≥0x^2 \ge 0), deci ff nu este surjectivă.

Exercițiul 3

Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6. Inversa f−1f^{-1} este:
  1. A. f−1(y)=y3+6f^{-1}(y) = \dfrac{y}{3} + 6
  2. B. f−1(y)=y+63f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}
  3. C. f−1(y)=3y+6f^{-1}(y) = 3y + 6
  4. D. f−1(y)=y−63f^{-1}(y) = \dfrac{y - 6}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: B. f−1(y)=y+63f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}

y=3x−6⇒x=y+63y = 3x - 6 \Rightarrow x = \dfrac{y + 6}{3}, deci f−1(y)=y+63f^{-1}(y) = \dfrac{y + 6}{3}.

Exercițiul 4

Funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 este bijectivă. Determinați abscisa punctului de intersecție al graficelor lui ff și f−1f^{-1}.
  1. A. −3-3
  2. B. 00
  3. C. 33
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

Graficul lui f−1f^{-1} este reflexia graficului lui ff față de y=xy = x. Intersecția lor se află pe y=xy = x, deci rezolvăm f(x)=xf(x) = x: 2x−3=x⇒x=32x - 3 = x \Rightarrow x = 3.

Exercițiul 5

Pentru f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3f(x) = x^3, care afirmație este corectă?
  1. A. ff nu este nici injectivă, nici surjectivă
  2. B. ff este injectivă dar nu surjectivă
  3. C. ff este surjectivă dar nu injectivă
  4. D. ff este bijectivă
Rezolvare

Răspuns corect: D. ff este bijectivă

ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}, deci injectivă. Pentru orice y∈Ry \in \mathbb{R}, x=y3x = \sqrt[3]{y} satisface f(x)=yf(x) = y, deci surjectivă. Astfel ff este bijectivă, cu f−1(y)=y3f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}.

Exercițiul 6

Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x+1,x<02x+1,x≥0f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ 2x + 1, & x \ge 0 \end{cases}. Care afirmație este corectă?
  1. A. ff nu este injectivă deoarece f(−1)=f(0)f(-1) = f(0)
  2. B. ff este injectivă dar nu surjectivă
  3. C. ff este surjectivă dar nu injectivă
  4. D. ff este bijectivă
Rezolvare

Răspuns corect: D. ff este bijectivă

Ramura stângă (x<0x < 0): f(x)=x+1∈(−∞, 1)f(x) = x + 1 \in (-\infty,\, 1), strict crescătoare. Ramura dreaptă (x≥0x \ge 0): f(x)=2x+1∈[1, +∞)f(x) = 2x + 1 \in [1,\, +\infty), strict crescătoare. Cele două imagini (−∞,1)(-\infty, 1) și [1,+∞)[1, +\infty) sunt disjuncte și reunite acoperă R\mathbb{R}, deci ff este surjectivă. Fiecare ramură este strict crescătoare și imaginile nu se suprapun, deci ff este injectivă. Astfel ff este bijectivă. (Notă: f(−1)=0f(-1) = 0 și f(0)=1f(0) = 1, deci distractor A este factual fals.)
Încă 4 exerciții cu funcții — proprietăți generale în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 9-a