pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu vectori în plan — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu vectori în plan pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli.

Exercițiul 1

Pentru u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}, modulul ∣u⃗∣|\vec{u}| este egal cu:
  1. A. 33
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: C. 55

∣u⃗∣=32+42=25=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

Exercițiul 2

Sunt vectorii u⃗=i⃗+2j⃗\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} și v⃗=2i⃗+4j⃗\vec{v} = 2\vec{i} + 4\vec{j} coliniari?
  1. A. Da, v⃗=2u⃗\vec{v} = 2\vec{u}
  2. B. Nu, produsul scalar este nenul
  3. C. Da, dar numai pentru că sunt perpendiculari
  4. D. Nu, au module diferite
Rezolvare

Răspuns corect: A. Da, v⃗=2u⃗\vec{v} = 2\vec{u}

v⃗=2u⃗\vec{v} = 2\vec{u}, deci cei doi vectori sunt coliniari (paraleli).

Exercițiul 3

Pentru u⃗=i⃗+j⃗\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} și v⃗=ai⃗−2j⃗\vec{v} = a\vec{i} - 2\vec{j}, găsiți a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie coliniari.
  1. A. −2-2
  2. B. −12-\dfrac{1}{2}
  3. C. 12\dfrac{1}{2}
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: A. −2-2

v⃗=ku⃗\vec{v} = k \vec{u} pentru un kk ⇒ a=ka = k și −2=k-2 = k. Deci a=−2a = -2.

Exercițiul 4

Găsiți m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât u⃗=mi⃗+3j⃗\vec{u} = m\vec{i} + 3\vec{j} și v⃗=4i⃗+(m+1)j⃗\vec{v} = 4\vec{i} + (m + 1)\vec{j} să fie perpendiculari.
  1. A. −1-1
  2. B. −37-\dfrac{3}{7}
  3. C. 37\dfrac{3}{7}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: B. −37-\dfrac{3}{7}

u⃗⋅v⃗=4m+3(m+1)=7m+3=0⇒m=−37\vec{u} \cdot \vec{v} = 4m + 3(m + 1) = 7m + 3 = 0 \Rightarrow m = -\dfrac{3}{7}.

Exercițiul 5

Fie a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} doi vectori necoliniari. Găsiți m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât u⃗=3a⃗−(m+1)b⃗\vec{u} = 3\vec{a} - (m + 1)\vec{b} și v⃗=(m−1)a⃗−5b⃗\vec{v} = (m - 1)\vec{a} - 5\vec{b} să fie coliniari.
  1. A. {−4}\{-4\}
  2. B. {4}\{4\}
  3. C. {−4,4}\{-4, 4\}
  4. D. {−2,8}\{-2, 8\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {−4,4}\{-4, 4\}

3⋅(−5)=(m−1) (−(m+1))3 \cdot (-5) = (m - 1)\,(-(m+1)), adică −15=−(m−1)(m+1)=1−m2-15 = -(m-1)(m+1) = 1 - m^2, deci m2=16m^2 = 16 și m∈{−4,4}m \in \{-4, 4\}.

Exercițiul 6

Pentru u⃗=i⃗+j⃗\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} și v⃗=ai⃗−2j⃗\vec{v} = a\vec{i} - 2\vec{j}, găsiți a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2.
  1. A. −2-2
  2. B. −1-1
  3. C. 22
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 22

u⃗⋅v⃗=a+(−2)=a−2=0⇒a=2\vec{u} \cdot \vec{v} = a + (-2) = a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2.
Încă 4 exerciții cu vectori în plan în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 9-a