Daily Math · 2026-05-28 - trei probleme despre Numere reale și radicali, Determinanți, Asimptote

Calculați $\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$.

Raționalizăm fiecare termen aducând la același numitor. Înmulțim primul termen cu $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ și al doilea cu $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$: $$\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{2\sqrt{7}}{7-5}=\frac{2\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}.$$

Capcana clasică este raționalizarea separată a celor două fracții și greșelile de semn sau de calcul la numitor. Dacă elevul uită să împartă $2\sqrt{7}$ la $2$, obține $2\sqrt{7}$ (varianta A). Cheia este recunoașterea că suma $( \sqrt{7}+\sqrt{5})+( \sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$ și numitorul comun este $7-5=2$.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix}x & 2 & 0\\ 3 & x+1 & 0\\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}$. Suma soluțiilor reale ale ecuației $\det(A)=0$ este:

Dezvoltăm $\det(A)$ după coloana a treia (singurul element nenul este $1$ pe poziția $(3,3)$): $$\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}x & 2\\ 3 & x+1\end{pmatrix}=x(x+1)-6=x^2+x-6.$$ Ecuația $x^2+x-6=0$ are soluțiile $x_1=-3,\; x_2=2$ (discriminant $\Delta=1+24=25$). Suma soluțiilor: $x_1+x_2=-3+2=\mathbf{-1}$ (sau prin Viète: $-b/a=-1$).

Expansiunea după coloana a treia reduce imediat calculul la un determinant $2\times2$. Greșeala frecventă este confundarea sumei cu produsul rădăcinilor ($x_1 x_2=-6$, varianta A) sau calculul greșit al semnului ($1$, varianta C). Varianta D ($5$) provine din suma valorilor absolute ale rădăcinilor, $|-3|+|2|=5$.

Fie $f:\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{2x^2-x-3}{x^2-9}$. Suma valorilor întregi $k$ pentru care dreapta $x=k$ este asimptotă verticală a lui $f$ este:

Numitorul se anulează în $x=3$ și $x=-3$. Verificăm că numărătorul nu se anulează în aceleași puncte: - $f(3)$: $2(9)-3-3=12\neq 0$ ✓ - $f(-3)$: $2(9)+3-3=18\neq 0$ ✓ Astfel $f$ are exact două asimptote verticale: $x=3$ și $x=-3$. Suma: $3+(-3)=\mathbf{0}$. (Asimptota orizontală este $y=\lim_{x\to\infty}f(x)=2$, dar aceasta nu intervine în sumă.)

Capcana principală: elevii pot identifica un singur pol (de obicei $x=3$) și răspund $6$ sau $-6$ în loc să verifice ambii. Varianta $2$ este valoarea asimptotei orizontale — confuzie între tipurile de asimptote. Cheia problemei este că suma $3+(-3)=0$, un rezultat contraintuitiv care penalizează calculul incomplet.