Daily Math · 2026-05-30 - trei probleme despre Funcții exponențiale, Combinatorică (combinări), Aria de sub grafic

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3^{x+2}-9$. Valoarea lui $x$ pentru care $f(x)=0$ este:

Din $f(x)=0$ obținem $3^{x+2}=9=3^2$. Deoarece funcția exponențială este injectivă, $x+2=2$, deci $\boxed{x=0}$.

Capcana clasică este să ignori deplasarea $+2$ din exponent și să scrii direct $3^x=9$, obținând greșit $x=2$. Cheia este să rescrii $9=3^2$ și să identifici exponenții, ținând cont că $3^{x+2}$ nu este același lucru cu $3^x$.

Fie $n\in\mathbb{N}$, $n\geq 3$. Dacă $\binom{n}{3}=4\cdot\binom{n}{2}$, atunci $n$ este egal cu:

Scriem explicit: $\dfrac{n!}{3!(n-3)!}=4\cdot\dfrac{n!}{2!(n-2)!}$. Simplificând, $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}=4\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}$. Împărțind ambele membre prin $n(n-1)\neq 0$: $\dfrac{n-2}{6}=2$, deci $n-2=12$, adică $\boxed{n=14}$. Verificare: $\binom{14}{3}=364=4\cdot 91=4\cdot\binom{14}{2}$.

Greșeala frecventă este să simplifici incomplet factorialele, obținând ecuații incorecte. Altă capcană este să înlocuiești valori întregi mici fără să rezolvi algebric, riscând erori de calcul. Simplificarea corectă a lui $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ față de $\frac{4n(n-1)}{2}$ conduce direct la o ecuație liniară.

Aria figurii cuprinse între graficul funcției $f(x)=x^2-4x+3$ și axa $Ox$, pe intervalul $[0,\,3]$, este egală cu:

Zerourile lui $f$ pe $[0,3]$: $x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1$ și $x=3$. Pe $[0,1]$, $f(x)\geq 0$; pe $[1,3]$, $f(x)\leq 0$. Calculăm: $\int_0^1(x^2-4x+3)\,dx=\left[\tfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_0^1=\tfrac{1}{3}-2+3=\tfrac{4}{3}$. $\int_1^3(x^2-4x+3)\,dx=\left[\tfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_1^3=(9-18+9)-(\tfrac{1}{3}-2+3)=0-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{4}{3}$. Aria totală $=\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}=\boxed{\dfrac{8}{3}}$.

Capcana principală: dacă aduni pur și simplu integralele fără valoare absolută, obții $0$, deoarece porțiunile de deasupra și de dedesubtul axei se anulează. Aria geometrică cere suma modulelor integralelor pe fiecare subinterval unde funcția nu-și schimbă semnul. Identificarea zerourilor pe intervalul dat este pasul esențial.