pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?
Înapoi la articole

Probleme · 2026-06-01

Daily Math · 2026-06-01 - trei probleme despre Numere complexe, Trigonometrie (valori), Derivate (funcții compuse)

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problemele zilei
pbmate 1 iunie 2026

Problema 1 · Numere complexe

Fie z=2−iz = 2 - i. Calculați ∣z∣2+Re⁡(z2)|z|^2 + \operatorname{Re}(z^2).
  1. 55
  2. 77
  3. 88
  4. 1010

Soluție

∣z∣2=22+(−1)2=5|z|^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5. Pentru z2z^2: (2−i)2=4−4i+i2=4−4i−1=3−4i(2-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i, deci Re⁡(z2)=3\operatorname{Re}(z^2) = 3. Asadar ∣z∣2+Re⁡(z2)=5+3=8|z|^2 + \operatorname{Re}(z^2) = 5 + 3 = \boxed{8}.
Greșeala clasică este confundarea lui Re⁡(z2)\operatorname{Re}(z^2) cu (Re⁡(z))2=4(\operatorname{Re}(z))^2 = 4. Se calculează întâi z2z^2 explicit, apoi se extrage partea reală. ∣z∣2|z|^2 se obține direct din definiție, fără a calcula ∣z∣|z| ca radical.

Problema 2 · Trigonometrie (valori)

Calculați sin⁡120∘⋅cos⁡210∘tan⁡240∘\dfrac{\sin 120^\circ \cdot \cos 210^\circ}{\tan 240^\circ}.
  1. 34\dfrac{\sqrt{3}}{4}
  2. −34-\dfrac{3}{4}
  3. −34-\dfrac{\sqrt{3}}{4}
  4. 34\dfrac{3}{4}

Soluție

sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡210∘=−32\quad \cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡240∘=tan⁡(180∘+60∘)=tan⁡60∘=3\quad \tan 240^\circ = \tan(180^\circ+60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}. Numărătorul: 32⋅(−32)=−34\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{3}{4}. Împărțind: −3/43=−343=−3312=−34\dfrac{-3/4}{\sqrt{3}} = -\dfrac{3}{4\sqrt{3}} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{12} = -\dfrac{\sqrt{3}}{4}.
Două capcane se suprapun: semnul lui cos⁡210°\cos 210° (cadranul III, negativ) și reducerea fracției finale prin raționalizarea numitorului 3\sqrt{3}. Greșind oricare dintre semne se obține +3/4+\sqrt{3}/4; uitând împărțirea la tan⁡\tan se obține −3/4-3/4.

Problema 3 · Derivate (funcții compuse)

Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=esin⁡2xf(x) = e^{\sin^2 x}. Calculați f′ ⁣(π6)f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
  1. 32 e1/4\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, e^{1/4}
  2. 12 e1/4\dfrac{1}{2}\, e^{1/4}
  3. 3 e1/4\sqrt{3}\, e^{1/4}
  4. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Soluție

Aplicând regula derivatei funcției compuse: f′(x)=esin⁡2x⋅(sin⁡2x)′=esin⁡2x⋅2sin⁡xcos⁡x=esin⁡2x⋅sin⁡2x.f'(x) = e^{\sin^2 x} \cdot \left(\sin^2 x\right)' = e^{\sin^2 x} \cdot 2\sin x \cos x = e^{\sin^2 x} \cdot \sin 2x. La x=π6x = \dfrac{\pi}{6}: sin⁡2 ⁣π6=(12)2=14,sin⁡π3=32.\sin^2\!\frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Deci f′ ⁣(π6)=e1/4⋅32f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = e^{1/4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Funcția compusă triplă eue^u cu u=sin⁡2x=(sin⁡x)2u=\sin^2 x = (\sin x)^2 necesită două aplicări ale regulii lanțului. Distracția frecventă este a folosi sin⁡(2⋅π/6)=sin⁡(π/3)=3/2\sin(2\cdot\pi/6)=\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2 corect, dar a uita factorul esin⁡2(π/6)=e1/4e^{\sin^2(\pi/6)}=e^{1/4}, sau a confunda sin⁡2(π/6)\sin^2(\pi/6) cu sin⁡(π2/36)\sin(\pi^2/36).
1 / 3
EasyNumere complexe
Fie . Calculați .