Grile pbmate · 5 iunie 2026 — trei probleme despre Combinări — ecuație cu coeficienți binomiali, Asimptota oblică a unei funcții raționale, Ecuația cercului

Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, care verifică ecuația $$C_n^2 = 15.$$

Folosim formula $C_n^2=\dfrac{n!}{2!\,(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}$. Ecuația devine $\dfrac{n(n-1)}{2}=15$, adică $n(n-1)=30$. Obținem ecuația de gradul al doilea $n^2-n-30=0$, cu soluțiile $n=\dfrac{1\pm\sqrt{1+120}}{2}=\dfrac{1\pm 11}{2}$, deci $n=6$ sau $n=-5$. Cum $n\ge 2$ este număr natural, păstrăm doar $n=6$. Verificare: $C_6^2=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15.$ Așadar $n=6$.

Cheia este formula $C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$ și rezolvarea ecuației pătratice $n(n-1)=30$. Distractorul $n=5$ apare din eroare de „off-by-one" (sau confuzia $C_5^2=10$ cu valoarea cerută). Valoarea $n=15$ tentează pe cine ignoră împărțirea la $2$ și citește direct numărul din dreapta drept $n$. Iar $n=7$ provine din rezolvarea greșită a ecuației pătratice ($C_7^2=21\ne15$).

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x-2}$. Ecuația asimptotei oblice către $+\infty$ la graficul funcției $f$ este:

Deoarece gradul numărătorului ($2$) depășește cu $1$ gradul numitorului ($1$), graficul admite asimptotă oblică $y=mx+n$. Determinăm coeficienții prin împărțirea polinoamelor. Împărțim $2x^2-3x+1$ la $x-2$: $2x^2-3x+1=(x-2)(2x+1)+3.$ Verificare: $(x-2)(2x+1)=2x^2+x-4x-2=2x^2-3x-2$, iar $2x^2-3x-2+3=2x^2-3x+1$. Corect. Așadar $f(x)=2x+1+\dfrac{3}{x-2}$. Cum $\dfrac{3}{x-2}\to 0$ când $x\to+\infty$, partea liniară $2x+1$ este asimptota oblică. Echivalent: $m=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-2x}=2$ și $n=\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-2x\big)=\lim\dfrac{2x^2-3x+1-2x(x-2)}{x-2}=\lim\dfrac{x+1}{x-2}=1$. Răspunsul corect este $y=2x+1$.

Cheia: asimptota oblică este câtul împărțirii, iar restul $\dfrac{3}{x-2}\to0$ se ignoră. Varianta $y=2x-1$ vine dintr-o greșeală de semn la termenul liber al câtului. $y=2x$ apare uitând complet termenul liber (doar $m$, cu $n=0$). $y=2x+7$ confundă restul cu termenul liber al asimptotei sau adună prost coeficienții din schema de împărțire.

Cercul $\mathcal{C}$ are centrul $C(-3,4)$ și este tangent la axa $Oy$. Ecuația cercului este:

Un cerc este tangent la axa $Oy$ (dreapta de ecuație $x=0$) atunci când raza sa este egală cu distanța de la centru la această axă. Această distanță este valoarea absolută a abscisei centrului. Centrul fiind $C(-3,4)$, distanța la axa $Oy$ este $r=|x_C|=|-3|=3$, deci $r^2=9$. Ecuația cercului cu centrul $(a,b)$ și raza $r$ este $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Cu $a=-3$, $b=4$ și $r^2=9$ obținem: $$(x+3)^2+(y-4)^2=9.$$

Cheia: tangența la $Oy$ impune $r=|x_C|=3$, nu $r=|y_C|=4$. Varianta B ($r^2=16$) provine din folosirea ordonatei centrului (distanța la $Ox$), confuzia clasică între cele două axe. Varianta C inversează semnele centrului în paranteze. Varianta D ($=3$) ia $r$ în loc de $r^2$, uitând ridicarea la pătrat.