Daily Math · 2026-07-20 - trei probleme despre general, algebra, general

Mulțimea valorilor parametrului real $m$ pentru care ecuația $x^2-(m+1)x+m-3=0$ are două rădăcini reale de semne contrare este:

Din relațiile lui Viète, pentru $x^2-(m+1)x+m-3=0$ avem $x_1 x_2 = m-3$. Impunem produs strict negativ: $$m-3<0 \iff m<3$$ Verificăm că rădăcinile există: $\Delta=(m+1)^2-4(m-3)=m^2-2m+13=(m-1)^2+12>0$ pentru orice $m\in\mathbb{R}$, deci ecuația are întotdeauna două rădăcini reale distincte. Așadar condiția se reduce la cea asupra produsului: $$m\in(-\infty, 3)$$

Fie $f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z}_5,+)$, $f(x)=\hat x$ (clasa lui $x$ modulo $5$). Câte dintre numerele mulțimii $\{-10,-5,0,5,10,7\}$ aparțin nucleului lui $f$ (adică au $f(x)=\hat0$)?

Sunt multipli de $5$: $-10,-5,0,5,10$ (cinci numere); $7$ nu este multiplu de $5$ ($7=5+2$). Deci $5$ dintre cele $6$ numere aparțin nucleului. Verificare: $-10=5\cdot(-2)$, $-5=5\cdot(-1)$, $0=5\cdot0$, $5=5\cdot1$, $10=5\cdot2$ — toate multipli de $5$; $7\bmod5=2\ne0$. ✓

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de $6$ cm și înălțimea de $10$ cm. Cât este volumul piramidei?

Aria bazei pătrate: $$A_b = 6^2 = 36 \text{ cm}^2.$$ Volumul piramidei: $$V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} = \dfrac{36 \cdot 10}{3} = 120 \text{ cm}^3.$$