pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?
Înapoi la articole

Probleme · 2026-07-21

Daily Math · 2026-07-21 - trei probleme despre algebra, algebra, analiza

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problemele zilei
pbmate 21 iulie 2026

Problema 1 · algebra

Se dau matricele A=(1201),B=(3412).A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}. Dacă XX este matricea care verifică AX=BAX=B, elementul de pe poziția (1,1)(1,1) al lui XX este:
  1. 33
  2. 00
  3. −2-2
  4. 11

Soluție

det⁡(A)=1\det(A)=1, iar A−1=(1−201)A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}. Atunci X=A−1B=(1−201)(3412)=(1⋅3+(−2)⋅11⋅4+(−2)⋅20⋅3+1⋅10⋅4+1⋅2)=(1012).X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot3+(-2)\cdot1&1\cdot4+(-2)\cdot2\\0\cdot3+1\cdot1&0\cdot4+1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}. Elementul de pe poziția (1,1)(1,1) este 11. Verificare: AX=(1201)(1012)=(3412)=BAX=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}=B. ✓

Problema 2 · algebra

Dacă [a][a] reprezintă partea întreagă a numărului real aa, iar {a}\{a\} reprezintă partea fracționară a numărului real aa, atunci rezultatul calculului [23]+{−0,25}\left[2\sqrt{3}\right]+\{-0{,}25\} este:
  1. 3,753{,}75
  2. 2,752{,}75
  3. 3,253{,}25
  4. 2,252{,}25

Soluție

23≈3,462\sqrt{3}\approx 3{,}46, deci [23]=3[2\sqrt{3}]=3. Pentru partea fracționară, {−0,25}=−0,25−[−0,25]=−0,25−(−1)=0,75\{-0{,}25\}=-0{,}25-[-0{,}25]=-0{,}25-(-1)=0{,}75. Suma: 3+0,75=3,753+0{,}75=3{,}75.

Problema 3 · analiza

Funcția f(x)={x+1x<2x2−1x≥2f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ x^{2} - 1 & x \ge 2 \end{cases} este continuă în x=2x = 2 deoarece:
  1. ambele limite laterale sunt egale cu f(2)f(2)
  2. ff este derivabilă în x=2x = 2
  3. ff este un polinom
  4. limita în x=2x = 2 nu există

Soluție

Limita stângă: lim⁡x→2−(x+1)=3\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} (x + 1) = 3. Limita dreaptă: lim⁡x→2+(x2−1)=3\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} - 1) = 3. f(2)=22−1=3f(2) = 2^{2} - 1 = 3. Toate trei coincid, deci ff este continuă în x=2x = 2.
1 / 3
Mediumalgebra
Se dau matricele Dacă este matricea care verifică , elementul de pe poziția al lui este: