Daily Math · 2026-07-22 - trei probleme despre general, algebra, general

Cea mai mare dintre fracțiile $\dfrac{5}{8}$, $\dfrac{7}{12}$ și $\dfrac{2}{3}$ este:

Cel mai mic numitor comun al lui $8$, $12$ și $3$ este $24$. Aducem fracțiile la numitorul $24$: $$\frac{5}{8} = \frac{15}{24}, \quad \frac{7}{12} = \frac{14}{24}, \quad \frac{2}{3} = \frac{16}{24}$$ Comparăm numărătorii: $16 > 15 > 14$, deci cea mai mare fracție este $\dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}$.

Se dă sistemul omogen cu parametrul real $m$: $$\begin{cases}x+2y-z=0\\3x-y+z=0\\x+2y+mz=0\end{cases}$$ Determinaţi valoarea lui $m$ pentru care sistemul admite şi soluţii nebanale (diferite de $x=y=z=0$).

Matricea coeficienţilor este $\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&-1&1\\1&2&m\end{pmatrix}$. Dezvoltând după prima linie: $$\Delta(m)=1\begin{vmatrix}-1&1\\2&m\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&1\\1&m\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&-1\\1&2\end{vmatrix}=(-m-2)-2(3m-1)-7=-m-2-6m+2-7=-7m-7.$$ Ecuaţia $-7m-7=0$ dă $m=-1$. Verificare: la $m=-1$, linia a treia devine $(1,2,-1)$ — identică cu linia întâi! Proprietatea „două linii egale ⇒ determinant $0$" confirmă imediat $\Delta(-1)=0$, deci sistemul admite soluţii nebanale. ✓

Soluția reală a ecuației $2^{\dfrac{x}{3}} = 16$ este:

$16=2^4$, deci ecuația devine $2^{x/3}=2^4$. Deoarece funcția $t\mapsto 2^t$ este injectivă (baza $2>0$, $2\neq 1$), rezultă $\dfrac{x}{3}=4$. $$x=12.$$ Verificare: $2^{12/3}=2^4=16$. ✓