Daily Math · 2026-07-24 - trei probleme despre analiza, algebra, algebra

Calculați $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$.

Fie $P(X)=X^2-3X+2$ și $Q(X)=X^2+mX-2$, $m\in\mathbb{R}$. Suma valorilor lui $m$ pentru care $P$ și $Q$ au o rădăcină comună este:

Factorizăm $P(X)=X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$, deci rădăcinile lui $P$ sunt $1$ și $2$. O rădăcină comună trebuie să fie $1$ sau $2$ (nu poate fi alt număr, căci P nu are alte rădăcini). Dacă rădăcina comună este $1$: $Q(1)=1+m-2=0 \Rightarrow m=1$. Dacă rădăcina comună este $2$: $Q(2)=4+2m-2=0 \Rightarrow m=-1$. Suma valorilor posibile: $1+(-1)=0$. Verificare: pentru $m=1$, $Q(X)=X^2+X-2=(X-1)(X+2)$, are rădăcina $1$ comună cu $P$ ✓; pentru $m=-1$, $Q(X)=X^2-X-2=(X-2)(X+1)$, are rădăcina $2$ comună cu $P$ ✓.

Suma progresiei geometrice infinite cu $b_1=4$ și rația $q=\dfrac13$ este:

$$S=\frac{4}{1-\frac13}=\frac{4}{\frac23}=6.$$ Verificare: $4+\dfrac43+\dfrac49+\dfrac{4}{27}+\cdots$, suma parțială crește spre $6$ (la primii $6$ termeni $\approx5{,}983$). ✓