Daily Math · 2026-07-28 - trei probleme despre algebra, general, calculus

Numărul soluțiilor ecuației $x^2 = \hat{1}$ în $\mathbb{Z}_{15}$ este:

Scriem $15=3\cdot5$, cu $3,5$ prime distincte. Modulo $3$: $x^2\equiv1\pmod3$ are soluțiile $x\equiv\pm1$, adică $2$ soluții. Modulo $5$: $x^2\equiv1\pmod5$ are soluțiile $x\equiv\pm1$, adică $2$ soluții. Prin Teorema Chineză a Resturilor, fiecare pereche (soluție mod $3$, soluție mod $5$) dă exact o soluție mod $15$, deci numărul total de soluții este $2\cdot2=4$. Verificare directă: $1^2=1$, $4^2=16\equiv1$, $11^2=121\equiv1$ ($121=8\cdot15+1$), $14^2=196\equiv1$ ($196=13\cdot15+1$) — patru soluții în $\{0,\dots,14\}$ ✓.

Se aruncă simultan două zaruri obișnuite și se notează suma punctelor de pe fețele de sus. Care este probabilitatea ca suma obținută să fie mai mare decât $10$?

Spațiul de eșantion are $6\cdot 6=36$ perechi ordonate egal posibile. Suma este mai mare decât $10$ doar pentru sumele $11$ și $12$: $$11:\ (5,6),\ (6,5);\qquad 12:\ (6,6).$$ Sunt $3$ cazuri favorabile, deci: $$P=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.$$

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\begin{cases}2x+m, & x\leq 1\\m^{2}x+2, & x>1\end{cases}$. Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ dacă parametrul real $m$ aparține mulțimii:

$f$ este continuă pe fiecare ramură, deci trebuie verificată doar continuitatea în $x=1$. Limita la stânga (și valoarea în $1$): $f(1)=2\cdot 1+m=2+m$. Limita la dreapta: $\displaystyle\lim_{x\searrow 1}f(x)=m^{2}\cdot 1+2=m^{2}+2$. Continuitate $\iff 2+m=m^{2}+2\iff m^{2}-m=0\iff m(m-1)=0\iff m\in\{0,1\}$.