pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?
Înapoi la articole

Probleme · 2026-08-01

Daily Math · 2026-08-01 - trei probleme despre algebra, Teorema cosinusurilor, algebra

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problemele zilei
pbmate 1 august 2026

Problema 1 · algebra

Forma simplificată a expresiei 7+43\sqrt{7+4\sqrt3} este:
  1. 2−32-\sqrt3
  2. 4+34+\sqrt3
  3. 2+32+\sqrt3
  4. 1+31+\sqrt3

Soluție

Observăm că (2+3)2=4+43+3=7+43.(2+\sqrt3)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3. Cum 2+3>02+\sqrt3>0, rezultă 7+43=2+3\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3. Verificare: 2+3≈3,7322+\sqrt3\approx3{,}732, iar 7+43=7+6,928=13,928≈3,732\sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt{7+6{,}928}=\sqrt{13{,}928}\approx3{,}732. ✓

Problema 2 · Teorema cosinusurilor

În triunghiul ABCABC, AB=7AB=7, AC=5AC=5 și A^=60°\widehat A=60°. Calculați BCBC.
  1. 39\sqrt{39}
  2. 74\sqrt{74}
  3. 33
  4. 262\sqrt6

Soluție

BC2=49+25−2⋅7⋅5⋅cos⁡60°=74−70⋅12=74−35=39  ⟹  BC=39.BC^2=49+25-2\cdot7\cdot5\cdot\cos60°=74-70\cdot\frac12=74-35=39 \implies BC=\sqrt{39}. (Distractorul 74\sqrt{74} corespunde omiterii termenului −2abcos⁡A-2ab\cos A.) Verificare prin coordonate: A(0,0)A(0,0), B(7,0)B(7,0), C(52,532)C\left(\frac52,\frac{5\sqrt3}2\right): BC=(7−52)2+(532)2=20,25+18,75=39BC=\sqrt{\left(7-\frac52\right)^2+\left(\frac{5\sqrt3}2\right)^2}=\sqrt{20{,}25+18{,}75}=\sqrt{39}. ✓

Problema 3 · algebra

Fie G=(2,+∞)G=(2,+\infty) și legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6x*y=xy-2x-2y+6, pentru orice x,y∈Gx,y\in G. Ecuația x∗x=6x*x=6 are suma soluțiilor egală cu:
  1. 44
  2. 22
  3. 00
  4. 33

Soluție

x∗x=x2−2x−2x+6=x2−4x+6x*x=x^{2}-2x-2x+6=x^{2}-4x+6. Ecuația x∗x=6x*x=6 devine x2−4x+6=6  ⟺  x2−4x=0  ⟺  x(x−4)=0  ⟺  x∈{0,4}x^{2}-4x+6=6\iff x^{2}-4x=0\iff x(x-4)=0\iff x\in\{0,4\}. Suma soluțiilor ecuației este 0+4=40+4=4.
1 / 3
Mediumalgebra
Forma simplificată a expresiei este: