pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?
Înapoi la articole

Probleme · 2026-09-05

Grile pbmate · 5 septembrie 2026 — trei probleme despre complex-numbers, analiza, algebra

Un set de probleme de matematică pentru azi. Rezolvă cele trei probleme cu variante multiple și descoperă soluțiile explicate.

Problemele zilei
Grile pbmate 5 septembrie 2026

Problema 1 · complex-numbers

Calculați (1+i)10(1+i)^{10}.
  1. 3232
  2. 32i32i
  3. −32-32
  4. −32i-32i
  5. −32+32i-32+32i
  6. 16i16i

Soluție

∙\bullet Ridicăm mai întâi la pătrat pentru a simplifica: (1+i)2=1+2i+i2=2i(1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i ∙\bullet Ridicăm la puterea a 5-a: (1+i)10=(2i)5=32 i5(1+i)^{10}=(2i)^5 = 32\,i^5 ∙\bullet Deoarece i5=ii^5=i: (1+i)10=32i(1+i)^{10}=32i

Problema 2 · analiza

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei OxOx a graficului funcției f(x)=x+1f(x)=x+1, x∈[0,2]x\in[0,2], este:
  1. 26π3\dfrac{26\pi}{3}
  2. 8π3\dfrac{8\pi}{3}
  3. 4π4\pi
  4. 20π3\dfrac{20\pi}{3}

Soluție

V=π∫02(x+1)2 dx=π∫02(x2+2x+1) dx=π[x33+x2+x]02.V=\pi\int_0^2(x+1)^2\,dx=\pi\int_0^2\bigl(x^2+2x+1\bigr)\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}+x^2+x\right]_0^2. V=π(83+4+2)=26π3.V=\pi\left(\frac83+4+2\right)=\frac{26\pi}{3}.

Problema 3 · algebra

Suma ∑k=120201k(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{1}{k(k+1)} este egală cu:
  1. 20202021\dfrac{2020}{2021}
  2. 20192020\dfrac{2019}{2020}
  3. 12021\dfrac{1}{2021}
  4. 12020\dfrac{1}{2020}

Soluție

Descompunem 1k(k+1)=1k−1k+1\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}. Suma telescopează: ∑k=12020(1k−1k+1)=1−12021=20202021\displaystyle\sum_{k=1}^{2020}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{2021} = \dfrac{2020}{2021}.
1 / 3
Mediumcomplex-numbers
Calculați .