Grile pbmate · 10 septembrie 2026 — trei probleme despre general, algebra, general

Suma soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{x+7}=x+1$ este:

Condiții de existență: $x+7\ge 0$ și $x+1\ge 0$, deci $x\ge -1$. Ridicăm la pătrat ambii membri: $$x+7=(x+1)^2=x^2+2x+1$$ Obținem ecuația de gradul al II-lea: $$x^2+x-6=0 \Rightarrow (x-2)(x+3)=0$$ Rădăcinile sunt $x=2$ și $x=-3$. Verificăm în ecuația inițială: pentru $x=2$ avem $\sqrt{9}=3=2+1$ ✓. Pentru $x=-3$ avem $\sqrt{4}=2\ne -3+1=-2$, deci $x=-3$ este soluție străină (nu respectă nici condiția $x\ge -1$). Singura soluție reală este $x=2$, deci suma soluțiilor este $$2$$

Suma elementelor mulțimii $B=\{x\in\mathbb Z\mid -2\le x\le 3\}$ este:

$$B=\{-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3\}.$$ $$(-2)+(-1)+0+1+2+3=3.$$ ✓ Rapid: perechile $(-2,2)$ și $(-1,1)$ dau $0$, rămâne $0+3=3$. (Capcana $6$ ar fi suma doar a elementelor pozitive.)

Diagonala unui pătrat are lungimea $6\sqrt{2}$ cm. Care este aria pătratului?

Diagonala pătratului este $d = l\sqrt{2}$. Din $l\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ rezultă: $$l = 6 \text{ cm}$$ Aria pătratului este: $$A = l^2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$