Grile pbmate · 22 octombrie 2026 — trei probleme despre algebra, general, algebra

Fie $n \geq 2$ un număr natural oarecare. Care dintre afirmațiile următoare despre $\mathbb{Z}_n$ este adevărată?

Prin teorema împărțirii cu rest, orice întreg $a$ se scrie unic ca $a = qn + r$ cu $0 \leq r < n$, deci clasa lui $a$ are exact reprezentantul $r \in \{0,\ldots,n-1\}$ — aceasta este singura afirmație adevărată. Celelalte sunt false: $\hat{0} = \widehat{n}$ (deoarece $n \equiv 0 \pmod n$), $\mathbb{Z}_n$ are exact $n$ elemente, iar fiecare întreg aparține unei singure clase. Formal: $$a = qn + r, \quad 0 \leq r < n$$

Se consideră cubul $ABCDA'B'C'D'$, cu fața de jos $ABCD$ și fața de sus $A'B'C'D'$. Câte dintre cele șase fețe ale cubului sunt paralele cu planul $(ABC)$?

Planul $(ABC)$ este chiar planul feței de jos, $(ABCD)$. Singura față complet disjunctă de această față este fața opusă, $A'B'C'D'$, deci $(ABC) \parallel (A'B'C'D')$. Celelalte patru fețe laterale — $ABB'A'$, $BCC'B'$, $CDD'C'$, $DAA'D'$ — au fiecare o muchie comună cu $ABCD$ (respectiv $AB$, $BC$, $CD$, $DA$), deci intersectează planul $(ABC)$ și nu sunt paralele cu el. Rezultă că există exact $1$ față paralelă cu planul $(ABC)$.

Suma primilor $10$ termeni ai progresiei aritmetice $2,\,5,\,8,\,\dots$ este:

$$S_{10}=5\bigl(2\cdot 2+9\cdot 3\bigr)=5(4+27)=5\cdot 31=155.$$ ✓ Verificare: $a_{10}=2+27=29$ și $\dfrac{10(2+29)}{2}=155$ ✓